Вторая группа

К этой группе относятся задачи, в которых требуется определить реакции двух закрепленных точек твердого тела (двух подшипников или подшипника и подпятника), возникающие при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси, проходящей через эти закрепленные точки.

При решении этих задач по принципу Даламбера нужно разбить вращающееся твердое тело на элементарные материальные частицы и к каждой такой частице приложить касательную и нормальную силы инерции этой частицы. Так как, согласно принципу Даламбера, все эти силы инерции уравновешиваются заданными силами, приложенными к телу, и реакциями закрепленных точек, то в общем случае имеем шесть известных из статики уравнений равновесия (три уравнения проекций и три уравнения моментов). В эти уравнения войдут, во-первых, сумма проекций всех сил инерции на каждую из трех выбранных координатных осей, или, что то же, проекции главного вектора сил инерции на каждую из этих осей, и, во-вторых, суммы моментов всех сил инерции относительно каждой координатной оси, или, что то же, главные моменты сил инерции относительно каждой из этих осей. Если ось вращения тела причем за координатную ось z, то проекции главного вектора сил инерции на координатные оси будут равны (см., например, «Курс теоретической механики» И. М. Воронкова, § 139)

а главные моменты сил инерции относительно координатных осей выразятся так:

В этих формулах М — масса тела, — соответственно угловая скорость и угловое ускорение тела, координаты центра тяжести С тела, - центробежные моменты инерции тела и - момент инерции тела относительно оси вращения.

Отметим некоторые частные случаи:

1. Тело вращается равномерно. Тогда .

2. Центр тяжести тела лежит на оси вращения. Тогда и, следовательно,

В этом случае все силы инерции приводятся к одной паре, проекции вектора - момента которой на координатные оси определяются по формулам (235).

3. Координатная плоскость является плоскостью симметрии тела. Тогда центр тяжести тела лежит в этой плоскости, и ось вращения как ось, перпендикулярная к плоскости симметрии, является главной осью инерции тела в точке О, поэтому . Если при этом , то

и

В этом случае все силы инерции одной равнодействующей, равной , где — радиус-вектор точки С, т. е. приводятся к одной силе, равной центробежной силе центра тяжести, если предположить, что в этом центре сосредоточена вся масса тела; при этом линия действия этой равнодействующей проходит через центр тяжести тела.

4. Если ось вращения z является главной центральной осью инерции тела и если при этом тело вращается равномерно, то , а потому , т. е. система сил инерции является в этом случае уравновешенной системой. Следовательно, в уравнения равновесия, составленные на основании принципа Даламбера, силы инерции не войдут; эти уравнения будут совпадать с уравнениями статики, которые используются при равновесии тела под действием приложенных к нему заданных сил. Поэтому искомые реакции закрепленных точек будут в этом случае равны статическим реакциям.

При решении задач этой группы по принципу Даламбера следует иметь в виду, что в уравнение моментов относительно оси вращения искомые реакции закрепленных точек не , так как их моменты относительно этой оси равны нулю. Поэтому эти реакции определяются из остальных пяти уравнений равновесия. Если в данной задаче, как это нередко бывает, требуется найти только реакции, перпендикулярные к оси вращения , то достаточно составить четыре уравнения равновесия (два уравнения проекций на оси v и у и два уравнения моментов относительно этих осей).

Пример 177. Однородный тонкий диск радиусом R и весом Р насажен на горизонтальный вал под углом а к оси вала и жестко скреплен с валом, причем центр тяжести О диска лежит на оси вала.

Определить реакции подшипников А и В, если вал вращается с постоянной угловой скоростью и весом вала и трением в подшипниках можно пренебречь (рис. 214).

Рис. 214.

Решение. Реакция каждого из подшипников перпендикулярна к оси вращения вала и равна геометрической сумме двух сил: статической реакции, вызываемой весом диска, и инерционной реакции, возникающей при вращении диска и обусловленной проявлением инерции материальных частиц вращающегося диска.

Каждая из статических реакций равна, очевидно, и направлена по вертикали вверх. Для определения инерционных реакций применим принцип Даламбера. Составляющие инерционной реакции по координатным осям х и у, приложенные в точке А, обозначим и , а инерционные реакции, приложенные в точке В, обозначим . При этом ось х лежит в одной плоскости с осью вращения вала и с нормалью к плоскости диска, ось у — в плоскости диска; ось z направим по оси вращения вала. Оси х и у связаны с диском и вращаются вместе с ним. Диаметр , диска лежит в плоскости и, следовательно, перпендикулярен к оси у.

Так как сила уравновешивается статическими реакциями подшипников, то, согласно принципу Даламбера, силы инерции материальных частиц диска будут уравновешиваться инерционными реакциями .

Поэтому имеем следующие четыре уравнения равновесия: уравнение проекций на ось х

уравнение проекций на ось у

уравнение моментов относительно оси х

уравнение моментов относительно оси у

В этих уравнениях, как было уже указано выше, — проекции на оси х и у, главного вектора сил инерции материальных частиц диска, — главные моменты этих сил относительно тех же осей. Так как в данной задаче центр тяжести диска лежит на оси вращения z и , то , поэтому из формул (234) и (235) имеем:

Кроме того, так как ось у, направленная по диаметру диска, есть ось симметрии диска, то она является его главной центральной осью инерции, а поэтому .

Следовательно, предыдущие уравнения принимают вид:

Из этих уравнений находим:

Вычислим центробежный момент инерции . Если рассмотрим материальную частицу диска с массой , то, как видно из рис. 215, координаты этой частицы будут равны

где h — расстояние этой частицы от оси у. Следовательно,

момент инерции диска относительно оси у (относительно диаметра), равный , поэтому .

Таким обрчзом, окончательно получаем:

Отсюда видно, что инерционные реакции подшипников параллельны оси х; следовательно, эти реакции, сохраняя постоянную величину, непрерывно изменяют свое направление, так как ось х вращается вместе с диском. Отрицательное значение силы указывает на то, что эта сила имеет направление, противоположное принятому на рис. 214, а поэтому реакции образуют пару сил, лежащую в плоскости, проходящей через ось вращения и нормаль к плоскости диска.

Рис. 215.

Рис. 216.

Пример 178. С вертикальной осью, укрепленной в подшипнике А и подпятнике В, жестко соединены перпендикулярный к этой оси тонкий стержень DE длиной и весом , и круглый однородный цилиндр весом . образующие которого параллельны оси АВ. При этом цилиндр насажен эксцентрично так, что его центр тяжести находится от оси АВ на расстоянии Цилиндр и стержень вращаются вокруг оси АВ с данной угловой скоростью . Найти реакции подшипника А и подпятника В, если (рис. 216).

Решение. Проведем координатные оси, связанные с цилиндром, как указано на рис. 216, т. е. ось z направим по оси вращения ВА, ось у — по прямой ОС, и ось х — параллельно стержню ED.

Составляющие реакции подшипника А по осям х и у обозначим , а составляющие реакции подпятника В по координатным осям — и .

Применяя принцип Даламбера, разобьем стержень DE на бесконечно малые элементы и к каждому такому элементу приложим соответствующую силу инерции.

Так как , то и, следовательно, касательные силы инерции всех элементов стержня будут равны нулю, а их нормальные силы инерции (центробежные силы) будут направлены вдоль стержня от оси вращения.

Равнодействующая этих центробежных сил имеет то же направление и по модулю равна

где - масса элемента, — расстояние от элемента до оси вращения. Но , где — расстояние центра тяжести С, стержня от оси АВ, равное у, поэтому . Так как плоскость является для цилиндра плоскостью симметрии и цилиндр вращается равномерно, то, как было указано выше, силы инерции материальных частиц цилиндра приводятся в этом случае к одной равнодействующей , равной центробежной силе центра тяжести цилиндра в предположении, что в этом центре сосредоточена вся масса цилиндра. Следовательно, эта сила приложена в точке и направлена по , т. е. по оси у.

Согласно принципу Даламбера, заданные силы реакции и силы инерции взаимно уравновешиваются; поэтому для этой системы сил можно составить следующие пять уравнений равновесия (три уравнения проекций на оси х, у, z и два уравнения моментов относительно осей х и у):

или

Из этих уравнений находим

Таблица 21. Классификация задач