§ 3. ЦЕНТРОИДЫ

(задачи 542, 544—549, 552, 553)

Геометрическое место мгновенных центров вращения на неподвижной плоскости, в которой движется плоская фигура, называется неподвижной центроидой, а геометрическое место мгновенных центров скоростей на плоскости самой движущейся фигуры называется подвижной центроидой.

В каждый данный момент подвижная и неподвижная центроиды касаются друг друга, и точка касания этих кривых является в данный момент мгновенным центром вращения (мгновенным центром скоростей) движущейся плоской фигуры.

Данное движение плоской фигуры в ее плоскости можно осуществить, построив подвижную и неподвижную центроиды и заставив первую катиться без скольжения по второй с соответствующей угловой скоростью.

Задачи, в которых требуется найти неподвижную и подвижную центроиды, решаются двумя способами: аналитическим и геометрическим.

При аналитическом способе определения центроид текущие координаты мгновенного центра вращения в неподвижной системе координат и текущие координаты того же центра в подвижной системе координат, неизменно связанной с движущейся фигурой, нужно выразить как функции времени, или другого переменного параметра (например, угла поворота фигуры); исключив затем этот переменный параметр, получим соответственно уравнения подвижной и неподвижной центроид (см. задачи 552, 553).

При геометрическом способе определения центроид искомые центроиды находят, исходя из геометрических соображений. Например, если расстояние мгновенного центра вращения от данной неподвижной точки оказывается постоянным, то неподвижная центроида есть окружность; если сумма расстояний мгновенного центра вращения от двух данных точек подвижной плоскости, т. е. плоскости самой движущейся фигуры, есть величина постоянная, то подвижная центроида есть эллипс, фокусы которого находятся в этих точках подвижной плоскости, и т. п. (см. задачи 542, 547, 548).

Пример 77. Стержень концами скользит по двум прямым ОА и , образующим между собой угол 45°. Найти подвижную и неподвижную центроиды (рис. 106).

Решение. 1-й способ (геометрический). Так как скорости точек А и В направлены соответственно по прямым ОА и ОВ, то мгновенный центр вращения стержня АВ находим как точку пересечения перпендикуляров, восставленных из точек А и В к прямым ОА и ОВ. Поэтому углы и АРВ равны как углы с перпендикулярными сторонами, т. е. . Отсюда следует, что подвижная центроида есть геометрическое место таких точек, из которых отрезок АВ виден под одним и тем же углом, равным 45°.

Как известно из геометрии, таким геометрическим местом является дуга АРВ окружности, описанной около треугольника АРВ; так как сумма углов АРВ и АОВ равна 180°, то эта окружность проходит и через точку О. Но сторона треугольника равна диаметру описанного круга, умноженному на синус угла, противолежащего этой стороне, поэтому, обозначая радиус подвижной центроиды через R, имеем:

откуда

Так как 90°, то отрезок ОР является диаметром подвижной центроиды, а потому , т. е. расстояние мгновенного центра вращения от неподвижной точки О постоянно; отсюда следует, что неподвижная центроида есть окружность радиуса с центром в точке О.

Рис. 106.

2-й способ (аналитический). Построим две системы координатных осей: неподвижную и подвижную , неизменно связанную со стержнем АВ, как указано на рис. 106; начало подвижной системы возьмем в середине отрезка АВ. Если обозначим координаты точки в неподвижной системе через и , а в подвижной системе — через и , то

Обозначим далее переменный угол ОАВ через и выразим координаты х и у через этот угол. Из треугольников ОАВ и АРВ по теореме синусов имеем:

отсюда находим:

Чтобы найти геометрическое место точек на неподвижной плоскости, т. е. получить уравнение неподвижной центроиды, нужно из этих уравнений исключить параметр . Для этого достаточно возвести каждое из этих уравнений в квадрат и затем их сложить. Тогда получим:

или

Отсюда видим, что неподвижная центроида есть окружность радиуса с центром в начале координат О.

Чтобы выразить теперь через угол координаты и точки в подвижной системе осей, рассмотрим треугольники АСР и ВСР, из которых имеем:

и

или

и

Освобождаясь во втором уравнении от знаменателя, получим:

Чтобы найти геометрическое место точек на подвижной плоскости, т. е. найти подвижную центроиду, нужно из этих двух уравнений исключить . Из первого уравнения имеем:

Подставляя это значение во второе уравнение, получим:

или

или

отсюда видим, что подвижная центроида есть окружность радиуса с центром в точке .

Пример 78. Стержень, согнутый в виде прямого угла ABC, перемещается так, что точка А движется по оси , а сторона ВС все время проходит через неподвижную точку D на оси у. Найти уравнения подвижной и неподвижной центроид, если (рис. 107).

Решение. способ (геометрический). Скорость точки А направлена по оси , а скорость точки D — вдоль стержня ВС.

Мгновенный центр вращения Р стержня ABC находится в точке пересечения перпендикуляров, восставленных из точек А и D к скоростям этих точек.

Рис. 107.

Так как прямоугольные треугольники АВЕ и OED, в которых , равны, то , а потому из равенства треугольников АРЕ и DPE заключаем, что . Но, как известно из аналитической , геометрическое место точек, расстояния от которых до данной неподвижной точки (точки D) и до данной неподвижной прямой (прямой ) равны между собой, есть парабола. Поэтому неподвижная центроида есть парабола, для которой прямая является директрисой, а точка D — фокусом. Точно так же рассматривая геометрическое место точек на подвижной плоскости, связанной со стержнем ABC, из равенства заключаем, что подвижная центроида есть парабола, для которой директрисой является прямая ВС, а фокусом — точка А.

2-й способ (аналитический). Если построим координаты х и у точки в неподвижной системе , то

Из треугольника PDK имеем:

или, принимая во внимание, что ,

Следовательно, неподвижная центроида есть парабола с осью и с вершиной в точке .

Построив теперь координаты и точки в подвижной системе осей неизменно связанных со стержнем АВС, имеем:

Чтобы найти зависимость между и , проведем отрезок. AL, параллельный .

Тогда

и

или

т. е.

или

Следовательно, подвижная центроида есть парабола с осью и с вершиной в точке .