Глава V. СОСТАВНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

§ 1. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Задачи данной главы относятся к составному движению твердого тела, которое складывается из двух вращательных движений вокруг параллельных или пересекающихся осей. Из таких задач особое практическое значение имеют те, в которых рассматриваются планетарные (задачи 580—584, 593, 613) и дифференциальные (задачи 588, 589, 615, 622 — 633) механизмы.

Зубчатые механизмы с одной степенью свободы, в числе звеньев которых имеются колеса с подвижными осями, называются планетарными, в отличие от обыкновенных зубчатых передач, у которых геометрические оси колес при работе механизма остаются неподвижными. Колеса планетарного механизма с неподвижными осями называются солнечными или центральными, а с подвижными — планетарными или сателлитами. Звено, несущее оси сателлитов называется поводком или водилом. Зубчатый механизм с подвижными осями, число степеней свободы которого больше единицы, называется дифференциальным. В простейшем случае дифференциальный механизм имеет две степени свободы, т. е. два звена механизма могут обладать независимыми друг от друга движениями. При решении задач данной главы удобно пользоваться понятием передаточного отношения. Передаточным отношением между звеньями и механизма передачи вращательного движения называется отношение угловой скорости звена . к угловой скорости звена :

Пусть имеется сложная передача, состоящая из звеньев. Обозначим через их угловые скорости, а через , отношения от первого звена ко второму, от второго к третьему и т. д. Тогда

Перемножая эти равенства, имеем:

т. е. передаточное отношение сложной передачи равно произведению промежуточных передаточных отношений. Передаточное отношение (число) может быть выражено через конструктивные параметры механизма передачи.

Простейшая зубчатая передача состоит из двух круглых цилиндрических зубчатых колес, которые служат для передачи вращения между параллельными валами (рис. 132). Для обеспечения постоянного передаточного отношения профили зубьев, находящихся в зацеплении колес, должны иметь определенные очертания, причем с указанными колесами можно мысленно связать две взаимно касающиеся окружности, центры которых совпадают с центрами этих колес и которые при вращении этих колес катятся одна по другой без скольжения.

Рис. 132.

Такие окружности называются начальными или центроидными окружностями этих колес, а точка их касания — полюсом зацепления. Цилиндры, соответствующие начальным окружностям, называются начальными цилиндрами. Рассмотрим внешнее зацепление двух круглых цилиндрических колес с параллельными осями (рис. 132, а). Пусть — радиусы начальных окружностей этих колес, а и, и угловые скорости. В данном случае направления вращения ведущего и ведомого колес противоположны, поэтому угловую скорость одного колеса можно рассматривать как положительную, а другого — как отрицательную величину. Так как соприкасающиеся в данный момент точки начальных окружностей, находящихся в зацеплении зубчатых колес, должны иметь общую скорость, то, обозначая величину этой скорости через и полагая , имеем:

или

где - числа зубьев соответствующих колес; отношение радиусов начальных окружностей, находящихся в зацеплен ни колес, можно заменить отношением чисел их зубьев, потому что шаг зацепления у этих колес должен быть одинаков и, следовательно, радиусы начальных окружностей этих колес прямо пропорциональны числам их зубьев.

Таким образом, при внешнем зацеплении двух круглых цилиндрических колес с параллельными осями передаточное отношение равно обратному отношению радиусов начальных окружностей или чисел зубьев этих колес, взятому со знаком минус. Знак минус показывает, что ведущее и ведомое колеса вращаются в разные стороны и, следовательно, их угловые скорости имеют разные знаки. Если нас интересуют только абсолютные значения угловых скоростей ведущего и ведомого колес, то знак минус в выражении передаточного отношения следует опустить. В случае внутреннего зацепления двух круглых цилиндрических колес с параллельными осями (рис. 132, б) оба колеса вращаются в одну сторону, поэтому

т. е. в этом случае передаточное отношение равно обратному отношению радиусов начальных окружностей или чисел зубьев и всегда является числом положительным.

Аналогично определяется передаточное отношение между коническими колесами. Следует иметь в виду, что в тех случаях, когда оси колес не параллельны, передаточное отношение является величиной положительной.