РА3ДЕЛ 1. СТАТИКА

Глава I. СХОДЯЩИЕСЯ СИЛЫ

§ 1. СЛОЖЕНИЕ СИЛ, СХОДЯЩИХСЯ В ОДНОЙ ТОЧКЕ

Сложение двух сил, сходящихся в одной точке

Равнодействующая двух сил , приложенных в одной точке и направленных под углом а друг к другу, равна геометрической сумме этих сил и изображается диагональю параллелограмма, построенного на силах и (рис. 1), т. е.

Модуль равнодействующей определяется по формуле

а направление ее определяется углами и между силами и равнодействующей R, которые можно найти по теореме синусов:

или

Если силы и угол между ними заданы, то сначала по формуле (2) находим модуль равнодействующей, а затем, подставив ее значение в равенства (3), найдем и , а следовательно, и углы .

Рис. 1.

При графическом определении равнодействующей двух сходящихся сил и не следует строить весь параллелограмм; достаточно из конца силы провести вектор, параллельный и равный второй силе . Вектор, соединяющий начальную и конечную точки полученной ломаной линии, изображает искомую равнодействующую R двух данных сил .

Вектор называется замыкающей стороной силового треугольника ABC (рис. 2).

Если две слагаемые силы и равны по модулю, то параллелограмм, построенный на этих силах, является ромбом, а равнодействующая — диагональю этого ромба. Так как диагонали ромба взаимно перпендикулярны и в точке их пересечения делятся равнодействующая, изображаемая вектором АС, делит вторую диагональ BD пополам, перпендикулярна к ней и, кроме того, сама делится пополам в точке О. Следовательно, для того чтобы найти равнодействующую двух равных по модулю сходящихся сил, достаточно построить вектор АО, соединяющий точку приложения слагаемых сил с серединой отрезка, соединяющего концы этих сил, и затем этот вектор удвоить, т. е.

Модуль силы R равен где — угол между силами и (рис. 3).

Это свойство дальше будет использоваться при нахождении равнодействующей двух равных сходящихся сил.

Рис. 2.

Пример 1. Как относятся модули сил , если угол между ними равен 135°, а равнодействующая равна по модулю меньшей силе (рис. 4.)?

Рис. 3.

Рис. 4.

Решение. Пусть векторы АВ и АС изображают искомые силы , причем 135°. Тогда диагональ AD параллелограмма ABDC, построенного на этих силах, есть равнодействующая сил т. е.

По условию задачи , или , следовательно, треугольник -равнобедренный.

Отсюда следует, что . Но

откуда

и, следовательно,

т. е. треугольник - прямоугольный, а потому

Эту же задачу можно решить, пользуясь формулой (2). Действительно:

но , а потому

откуда

т. е.

Пример 2. Веревка DABC, перекинутая через блок, закреплена одним концом С неподвижно; ко второму концу D этой веревки подвешен груз М весом . Найти давление, передаваемое на ось блока, и угол, который сила давления образует с горизонталью. Угол а между веревкой ВС и горизонталью задан (рис. 5).

Решение. В точке А к блоку приложена сила натяжения веревки AD, а в точке В — сила натяжения веревки ВС, причем эти две силы по величине равны, так как натяжение веревки DABC во всех ее точках одинаково.

Продолжим и ВС до пересечения в точке Е и перенесем силы и по линиям в эту точку Е. Тогда получим две равные силы , пересекающиеся под углом 90° — а в точке Е. Найдем их равнодействующую, для чего построим на этих силах параллелограмм. Так как эти силы равны, то полученный параллелограмм является ромбом и равнодействующая направлена по биссектрисе угла АЕВ, т. е. проходит через точку О. Величину этой равнодействующей найдем по формуле (5)

Так как сила натяжения Г, веревки AD равна весу груза М, то , а потому

Сила R и есть искомое давление, передаваемое на ось вращения блока. Теперь находим угол между силой R и горизонталью: