Задачи типа IV. Задачи, относящиеся к определению усилий в стержнях плоской фермы (задачи 197—207)

Фермой называется геометрически неизменяемая система прямолинейных стержней, соединенных по концам шарнирами. В задачах статики рассматриваются только статически определимые фермы, т. е. такие фермы, для которых выполняется соотношение

где — число стержней, — число узлов (шарниров) фермы.

Кроме того, предположим, что внешние силы приложены только в узлах фермы и трение в шарнирах отсутствует. Тогда, если пренебречь весом стержней, их реакции будут направлены вдоль этих стержней и каждый стержень будет либо сжат, либо растянут. При решении задач, как правило, направляют реакцию каждого стержня от соответствующего узла, т. е. предполагают, что стержень растянут. Будет ли данный стержень в действительности растянут или сжат определяется по знаку найденной из уравнений равновесия реакции этого стержня: если реакция положительна, то стержень растянут, а если она отрицательна, то стержень сжат (см. гл. I, § 4).

Пример 27. Определить усилия в стержнях плоской фермы, изображенной на рис. 47, пренебрегая весами стержней, если силы и горизонтальны и каждая из них равна , а сила вертикальна и равна (рис. 47).

Решение. Внешними силами для данной системы являются заданные силы и реакции опор и в точках А и В. Усилия в стержнях, соединяющих узлы фермы, являются внутренними силами для этой системы. Для того чтобы определить внутренние силы, необходимо систему расчленить. Поэтому, чтобы определить усилия в стержнях 1, 2, 3, разрежем ферму по этим стержням, мысленно отбросим нижнюю часть фермы и уравновесим оставшуюся верхнюю часть реакциями разрезанных стержней , которые направлены вдоль этих стержней.

Рис. 47.

Рис. 48.

Предполагая, что стержни 1, 2, 3 растянуты, направим каждую из сил от соответствующего узла. Составим три уравнения равновесия для верхней части фермы в виде (22), т. е. два уравнения моментов относительно точки С пересечения стержней 1 и 2 и относительно точки Е пересечения стержней 2 и 3 и одно уравнение проекций на ось , перпендикулярную к параллельным стержням 1 и 3 (рис. 48).

Тогда в каждое уравнение равновесия войдет только одна неизвестная сила:

Из этих уравнений находим:

где

а потому

Так как , то стержень 2 растянут, 3 - сжат, а 1 — не работает.

Для определения усилий в стержнях 7, 8, 9 проведем сечение II — II по этим стержням и рассмотрим равновесие части фермы HDEK, находящейся под действием сил и реакций перерезанных стержней 7, 8, 9.

Рис. 49.

Рис. 50.

Направляя каждую из сил от соответствующего узла, составим два уравнения моментов относительно точек А и К и одно уравнение проекций на ось (рис. 49)

Из этих уравнений находим:

Так как , то стержни 7 и 8 растянуты, а стержень 9 сжат. Аналогично, проводя разрез , найдем усилия в стержнях 4, 5, 6.

Для определения усилия в оставшихся стержнях 10, 11, 12, 13 проще воспользоваться способом вырезания узлов Вырежем, например, узел В, к которому приложена неизвестная вертикальная реакция опоры В, неизвестная реакция стержня 10 и реакция стержня 9, равная по модулю и противоположная по направлению найденной уже реакции . Так как стержень 9 сжат, то реакция направлена к узлу В и по модулю равна (рис. 60).

Для сходящихся сил составим два уравнения равновесия (два уравнения проекций на оси х и у):

откуда . Аналогично, вырезая узлы D, L и Н, найдем реакции .

Примечание. Силу можно было бы направить по общему правилу от узла В, но тогда эту силу нужно считать равной найденному алгебраическому значению силы , уравнение проекций на ось у при этом будет

откуда

Описанные классификация и типы задач не включают всех видов задач на равновесие системы тел. Необходимо иметь в виду, что возможны и такие задачи, в которых два тела, входящие в данную систему, соединены между собой двумя внутренними связями того или другого из описанных типов связей, например при помощи нити и шарнира, как в задаче № 147 из «Сборника задач» И. В. Мещерского.

Кроме того, возможны задачи на равновесие системы трех тел. Методы решения всех таких задач остаются такими же, как и в случае одной внутренней связи, соединяющей два тела системы.