Задачи типа II
Первая группа (задачи 1179, 1180, 1182—1189)
Пример 186. Водило АВ, представляющее собой однородный тонкий стержень длиной 
и массой 
, вращается вокруг оси О неподвижной шестерни 
под действием приложенного к нему момента М и приводит в движение две одинаковые свободно насаженные на водило шестеренки 2 и 
радиусом 
и массой 
каждая, которые катятся по сцепленной с ними неподвижной шестерне 
и приводят в движение зубчатое колесо 3, обладающее массой 
. К окружности колеса 3 приложена сила сопротивления 
. Определить угловое ускорение 
водила, если шестеренки 2 и 
представляют собой сплошные однородные диски, а масса колеса 3 равномерно распределена по его окружности (рис. 224).
Рис. 224.
Решение. Положение данного механизма вполне определяется одним параметром — углом 
поворота водила, который и принимаем за обобщенную координату. В соответствии с этим в данной задаче имеем одно уравнение Лагранжа:
Вычисляем кинетическую энергию Т системы, которая слагается из кинетической энергии 
водила, энергии 
двух бегающих шестеренок и энергии 
колеса 3:
где 
- моменты инерции водила и колеса 3 относительно оси О, а 
— момент инерции шестеренки 2 относительно оси вращения А.
Угловые скорости 
шестеренки 2 и 
колеса 3, а также линейную скорость точки А выражаем через угловую скорость водила 
, которая в данном случае является обобщенной скоростью:
(мгновенный центр вращения шестеренки 2 находится в точке С зацепления этой шестеренки с неподвижной шестерней 1), для определения 
находим скорость точки D зацепления шестеренки 2 с колесом 3: 
; следовательно,
Теперь вычисляем моменты инерции:
Таким образом, для кинетической энергии системы получаем следующее выражение:
Отсюда находим
где 
- угловое ускорение водила;
Определим теперь обобщенную силу.
При повороте водила на элементарный угол 
сумма работ, действующих на данную систему сил, равна
где 
— угол поворота колеса 3. Но зависимость между углами 
, очевидно, такова же, как и между угловыми скоростями водила и колеса 3. Следовательно,
поэтому
отсюда
Подставляя найденные значения обобщенной силы и производных и 
в уравнение Лагранжа, получаем
откуда
