Задачи типа II. Равновесие сил. образующих систему непараллельных компланарных векторов

В рассматриваемом случае одну из трех координатных осей например, ось х располагают перпендикулярно к данным силам. Еумма проекций этих сил на выбранную таким образом ось тождественно равна нулю , поэтому из шести уравнений равновесия пространственной системы сил остается только пять:

Следовательно, число неизвестных в задаче на равновесие одного тела не должно превышать пяти. Обычно в задачах данного типа приходится рассматривать равновесие тела, имеющего неподвижную ось вращения.

Так, например, тело может быть закреплено на валу, который опирается на два цилиндрических подшипника (рис. 70), причем на тело действуют силы, перпендикулярные к оси вращения. Обычно подшипники конструктивно оформляются так, что препятствуют осевым перемещениям вала (рис. применяются также упорные подшипники (рис. 70, б). Однако, если на тело действуют силы, перпендикулярные к оси вала, то вдоль этой оси никаких реакций не возникает и реакции подшипников направлены тоже перпендикулярно к оси вала, т. е. опоры, показанные на рис. 70, а и 70, б, в рассматриваемом частном случае эквивалентны опорам, изображенным на рис. 70, в, где никаких устройств, фиксирующих вал в осевом направлении, нет.

Рис. 70.

Ось вала следует принять за одну из координатных осей например, ось , тогда две другие оси (у и z) располагаются перпендикулярно к оси вала и реакция каждого подшипника разлагается на два компонента вдоль этих двух осей (см. рис. 70). В некоторых случаях координатные оси можно выбрать так, чтобы каждая сила, действующая на тело, была параллельна одной из координатных осей [см. задачи № 254—256, 261].

Пример 38. Груз Q опускается равномерно при помощи каната, навернутого на барабан радиуса . На общем валу с барабаном заклинено колесо Е и тормозной шкив С радиуса . К колесу Е приложена пара сил, тормозящая вращение вала, момент которой равен (силы, образующие эту пару, на рисунке не показаны, а направление ее указано круговой стрелкой). Ввиду того, что этот момент не обеспечивает равномерного спуска груза, осуществляется еще притормаживание системы при помощи колодочного тормоза, причем колодка тормоза при жимается к тормозному шкиву силой Р.

Определить эту силу, а также реакции подшипников, если коэффициент трения между колодкой и тормозным шкивом равен . Размеры указаны на рисунке (рис 71).

Рис. 71.

Решение. Рассмотрим равновесие вала с закрепленными на нем телами. На вал, кроме реакций подшипников, действуют: вертикальная сила каната, равная весу груза Q; вертикальная сила Р давления колодки на тормозной шкив; сила трения F, направленная по касательной к тормозному шкиву (т. е. в данном случае горизонтально), и, наконец, тормозящий момент , который можно изобразить в виде вектора, направленного по оси вала. Рассмотренные силы образуют систему вертикальных и горизонтальных векторов, перпендикулярных к оси вала (силы, образующие заданную пару, можно направить параллельно оси у, или оси 2, так как пару можно расположить как угодно в ее плоскости).

Поэтому, принимая точку А за начало координат, ось х направим по оси вала, а две другие оси располагаем, как указано на рисунке (горизонтально и вертикально). Учитывая, что реакции подшипников направлены перпендикулярно к оси вала, разлагаем каждую из них на два компонента вдоль осей у и z. Таким образом, получаем систему сил, расположенных параллельно плоскости , причем каждая из них параллельна одной из координатных осей. Поэтому в данной задаче можно составить пять уравнений равновесия по формулам (39). При этом вычисления проекции сил на координатные оси не вызывает трудностей. Остановимся на определении сил относительно этих осей. Силы и Р пересекают ось х, поэтому их моменты относительно этой оси равны нулю. Точно так же силы и пересекают каждую из осей у и z, а потому их моменты относительно этих осей равны нулю.

Силы параллельны оси z, а силы F и параллельны оси у, поэтому

Следовательно, уравнения равновесия (39) принимают вид:

При составлении этих уравнений учтено, что сумма моментов сил, образующих пару, относительно какой-либо оси равна проекции вектора-момента пары на эту ось. Поэтому тормозящий момент m вошел лишь в уравнение (3), так как вектор проектируется на ось в свою натуральную величину, а на остальные две оси его проекции равны нулю.

Найдем теперь моменты сил F и Q относительно оси х; эти силы расположены в плоскостях, перпендикулярных к оси х, поэтому

и

Далее вычислим моменты сил относительно оси у; силы и расположены в плоскости , перпендикулярной к оси у, поэтому

Чтобы вычислить момент силы Q относительно оси у, достаточно эту силу спроектировать на плоскость , тогда

гак как (проекция силы Q на плоскость показана пунктиром).

Теперь находим моменты сил F и относительно оси z:

Так как (проекция силы F на плоскость показана пунктиром),

Таким образом, получим следующие пять уравнений равновесия рассматриваемой системы сил:

К составленным выше пяти уравнениям равновесия присоединяется еще одно уравнение, выражающее закон Кулона:

Из третьего уравнения находим:

Тогда из шестого уравнения имеем:

Из четвертого уравнения:

где

Из пятого уравнения:

После этого из первого и второго уравнений нетрудно найти

В ряде случаев координатные оси невозможно выбрать так, чтобы каждая из действующих на тело сил была параллельна одной из осей (см. задачи № 251, 257, 260, 262—264, 266, 276, 279—281). Тогда координатные оси следует выбрать так, чтобы наибольшее число сил удовлетворяло этому условию.

Пример 39. Ворот, при помощи которого поднимается груз О, удерживается в равновесии вертикальными силами Р и Q, из которых сила Q известна по модулю. Вес ворота равен радиус колеса равен , остальные размеры указаны на рисунке. Определить модуль силы Р и реакции подшипников А и В, если угол а известен (рис. 72).

Решение. Рассматриваем равновесие ворота. За начало координат принимаем точку А, ось у направим по оси ворота, а ось z — по вертикали вверх, т. е. параллельно силам Р, Q и ось х направим, как указано на рис. 72.

Рис. 72.

Канат мысленно разрежем и заменим его действие на ворот силой F, равной по модулю весу груза, т. е. . Каждую из реакций в точках А и В разлагаем на две составляющие, параллельные осям х и z, т. е.

Вычислим моменты действующих на ворот сил относительно координатных осей.

Относительно оси :

(Проекция силы Р на плоскость , перпендикулярную к оси , показана пунктиром; очевидно, )

(Проекция силы F на плоскость показана на рисунке пунктиром; сила F образует с плоскостью угол, равный углу , а потому )

. Относительно оси у:

Относительно оси :

Учитывая, что , составим пять уравнений равновесия рассматриваемой системы сил:

Из пятого уравнения имеем:

Из четвертого уравнения находим:

Из третьего уравнения:

Подставив найденные значения и в первые два уравнения равновесия, находим из этих уравнений и :