Задачи типа III. Тела, входящие в систему, соединены между собой шарнирно (задачи 110—112, 143, 147—154)

В этом случае внутренняя сила, т. е. сила, с которой одно тело действует на другое, приложена в центре шарнира, но направление ее неизвестно.

Поэтому при решении таких задач эту силу разлагают на две составляющие, направленные по координатным осям. Из задач этой группы следует особо отметить важный частный случай, а именно: система состоит из двух тел с тремя шарнирами, из которых два являются неподвижными опорными шарнирами, а третий соединяет эти два тела между собой, например, в случае трехшарнирной арки (рис. 44). Если трехшарнирная арка находится в равновесии под действием плоской системы сил, то можно составить всего шесть уравнений равновесия (по три уравнения для каждой части АС и ВС арки в отдельности).

Так как направление реакции в каждом из трех шарниров А, В и С неизвестно, то при решении задачи о равновесии трехшарнирной арки каждую из этих реакций нужно разложить на две составляющие (по координатным осям и у). Следовательно, всего будем иметь шесть неизвестных реакций, которые можно найти из шести уравнений равновесия. Таким образом, задача о равновесии трехшарнирной арки является статически определимой.

Рис. 44.

Пример 25. Две однородные балки и весом и и весом соединены в точке В шарнирно. Первая балка горизонтальна и концом А заделана жестко, а вторая концом С свободно опирается на гладкую наклонную плоскость с углом наклона 30°. Определить реакции в точках А и С, если (рис. 45).

Решение. Данная система состоит из двух тел: балок АВ и ВС. Реакция наклонной плоскости направлена перпендикулярно к этой плоскости, а реакция заделки эквивалентна силе , приложенной в точке А, направление которой неизвестно, и паре сил с неизвестным моментом [см. рис. ]. Обозначая составляющие силы по координатным осям через и , составим три уравнения равновесия внешних сил, приложенных к данной системе:

Уравнения проекций на оси и у и уравнение моментов относительно точки В:

где . Так как в этих трех уравнениях число неизвестных равно четырем , то для решения задачи необходимо данную систему расчленить в шарнире В и рассмотреть равновесие одной из балок в отдельности. При этом достаточно составить только одно уравнение равновесия для этой балки.

Рис 45.

В данном случае проще всего составить уравнение моментов относительно точки В для балки ВС, так как неизвестная реакция шарнира В в это уравнение не войдет. Составляя это уравнение, получим:

Отрезок ВК найдем из прямоугольного треугольника ВСК, в котором 30°, а потому . Подставив найденное значение в первые три уравнения, находим:

Пример 26. На рис. 46 показана схема копра, состоящего из двух одинаковых ферм, соединенных между собой шарниром В. Веса этих ферм и равны и приложены в точках D и Е.

Рис. 46.

На левую ферму действует горизонтальная сила давления ветра. Определить реакции в шарнирах А, В, С при указанных на рисунке размерах.

Решение. Направления реакций в шарнирах неизвестны, а потому разложим каждую из них на горизонтальную и вертикальную составляющие, направив их, как указано на рисунке.

Пусть — реакции левой фермы, приложенные к ферме ВС в точке В, а реакции правой фермы, приложенные в той же точке к ферме АВ, причем .

Так как в данной задаче нужно найти шесть неизвестных реакций , то нужно составить шесть уравнений равновесия. Для этого сначала составим три уравнения равновесия для всей системы в целом (уравнения равновесия внешних сил ).

Приравнивая нулю сумму моментов сил относительно каждой из точек А и С и сумму проекций этих сил на ось х, получим:

Далее составим три уравнения равновесия для фермы ВС (уравнения равновесия сил , приложенных к этой ферме). Приравнивая нулю сумму моментов этих сил относительно точки С и сумму их проекций на оси х и у, получим:

Решим теперь полученную систему шести уравнений. Из второго и третьего уравнений находим:

Из пятого уравнения находим:

Из шестого уравнения имеем:

Теперь из четвертого и первого уравнений получаем:

или