§ 2. ПРИВЕДЕНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОЙ СИСТЕМЫ СИЛ К ДАННОМУ ЦЕНТРУ

(задачи 232—240)

Если задана система сил , расположенных

как угодно в пространстве, то эти силы можно привести к произвольно выбранному центру О. В результате такого приведения, как и в случае плоской системы сил, получим одну силу R, приложенную в центре приведения О и равную главному вектору данной системы сил, и одну пару с вектором-моментом , равным главному моменту этой системы сил относительно центра О.

Следовательно, будем иметь:

Аналитически модуль и направление векторов R и определяются по их проекциям на координатные оси , начало которых находится в центре приведения О, причем

Отсюда имеем:

(31)

Модуль и направление главного вектора не зависят от выбора центра приведения. Поэтому главный вектор является первым инвариантом данной системы сил. Модуль и направление главйого момента изменяются с изменением центра приведения.

Рис. 63.

Но скалярное произведение главного вектора и главного момента не зависит от выбора центра приведения, т. е. является вторым инвариантам данной системы сил. При этом , где — угол между направлениями главного вектора R и главного момента . Выражая это скалярное произведение через проекции векторов R и , имеем:

Если второй инвариант данной системы сил не равен нулю, то эта система приводится к динаме, т. е. к паре и к силе, перпендикулярной к плоскости этой пары (рис. 63).

Прямая, проходящая через точку , по которой направлены векторы R и называется центральной осью данной системы сил. При этом отрезок перпендикулярен к векторам

, а его длина равна:

При перемещении центра приведения по центральной оси главный момент данной системы не изменяется, т. е. остается равным , причем его модуль является наименьшим по сравнению с модулем главного момента данной системы сил относительно всякого другого центра приведения, не лежащего на центральной оси.

Величина этого наименьшего момента определяется по формуле

Аналитически положение центральной оси определяется ее двумя уравнениями, которые имеют следующий вид:

где x, у и z - текущие координаты точки, лежащей на центральной оси.

Рис. 64.

Может оказаться, что скалярное произведение равно нулю, но каждый из сомножителей отличен от нуля. В этом случае главный момент перпендикулярен главному вектору, т. е. сила и пара, получающаяся в результате приведения данной системы сил к центру О, лежат в одной плоскости.

Рис. 65.

В этом случае, как уже было § 1 гл. II, система приводится к равнодействующей, , которая проходет через точку , лежащую на перпендикуляре, к векторам на расстоянии (рис. 64). Если то система сил приводится, очевидно, к одной равнодействующей силе R, проходящей через центр приведения О.

Если же , то заданная система сил приводится к одной паре с моментом в этом случае главный момент системы не изменяется с изменением центра приведения, т. е. относительно любого центра приведения главный момент будет равен (рис. 65).

Наконец, если главный вектор R и главный момент одновременно равны нулю, то данная система находится в равновесии.

Эти результаты можно расположить в табл. 8.

Таблица 8

Пример 34. Даны три силы , приложенные в точках (0; 2; 1), (1;-1;3), (2; 3; 1), и их проекции на координатные оси (в ньютонах).

Привести эту систему сил к началу координат.

Решение. Определим сначала проекции главного вектора и главного момента на координатные оси:

Для вычисления моментов сил относительно координатных осей воспользуемся формулами (29). Тогда имеем:

Теперь по найденным проекциям определяем величину главного вектора и главного момента:

Для определения направления главного момента находим его направляющие косинусы:

Так как главный вектор данной системы сил равен нулю, то эта система сил приводится к одной паре с моментом , причем этот момент не изменяется с изменением центра приведения.

Пример 35. По ребрам призмы действуют, как указано на рис. 66, силы . Кроме того, дано . Привести эту систему сил к простейшему виду.

Рис. 66.

Решение. Выберем систему координатных осей, как указано на рисунке, и найдем проекции главного вектора на координатные оси.

Отсюда следует, что главный вектор направлен по оси у и равен .

Приводя данную систему сил к началу координат, найдем проекции на оси х, у, z главного момента относительно точки О:

Так как силы пересекают ось , а силы параллельна этой оси, то моменты этих сил относительно оси х равны нулю и, следовательно,

Сила лежит в плоскости , причем наблюдатель, смотрящий с положительного конца этой оси, видит силу направленной относительно точки О по часовой стрелке, поэтому

Далее

Силы пересекают ось у, поэтому их моменты относительно этой оси равны нулю.

Следовательно,

Силы лежат в плоскости хz, поэтому

и

Итак,

Так как силы пересекают ось z, а сила параллельна этой оси, а потому момент каждой из этих сил относительно оси z равен нулю, следовательно,

Так как

то главный момент направлен по оси х и

Таким образом, данная система сил эквивалентна силе R, приложенной в точке О, и паре с моментом .

Остается теперь выяснить, к какому простейшему виду можно привести данную систему сил: к одной равнодействующей силе или к динаме. Так как перпендикулярен главному моменту , то сила R и пара (с моментом ) лежат в одной плоскости , поэтому они приводятся к одной равнодействующей силе , равной и параллельной силе R и приложенной в точке . Найдем эту точку .

Для этого нужно на прямой, проведенной из точки О и перпендикулярной к векторам R и , т. е. в данном случае на оси z, отложить отрезок, равный

При этом отрезок следует отложить на оси в таком направлении, чтобы, смотря с конца вектора-момента , можно было видеть равнодействующую силу , приложенную в точке , направленной по отношению к точке О против часовой стрелки. Так как , то точка совпадает с данной точкой К.

Точка К и будет точкой приложения , данная система приводится к равнодействующей силе , приложенной в точке К и направленной параллельно оси у, причем

Пример 36. Дана система сил , приложенных в вершинах прямоугольного параллелепипеда и направленных, как указано на рис. 67, причем

Привести эту систему сил к простейшему виду.

Рис. 67.

Решение. Координатные оси х, у, z направим, как указано на чертеже, и введем следующие обозначения: угол ODK обозначим , угол КОВ — и угол АОЕ — .

При вычислении проекций заданных сил на координатные оси заметим, что проекции силы на оси х и у нужно находить так же, как это было указано в примере № 12, т. е. сначала силу следует спроектировать на плоскость и полученную проекцию спроектировать затем на оси х и у.

Значения проекций всех заданных сил и координаты их точек приложения расположим в виде табл. 9.

Таблица 9

Из прямоугольных треугольников ODK, ОСЕ и ОВК находим:

Теперь вычислим проекции главного вектора на координатные оси:

Отсюда видим, что главный вектор направлен по оси у влево и по величине равен 30 н.

Переходим к вычислению главного момента относительно центра приведения О.

Сила параллельна оси х, а остальные силы пересекают эту ось, поэтому момент каждой силы относительно оси х равен нулю. Следовательно, .

Точно так же момент каждой из сил , относительно оси у равен нулю, а потому

Моменты сил относительно оси z равны нулю, так как эти силы пересекают эту ось, следовательно,

Так как , то главный момент лежит в плоскости и по величине равен

Так как главный вектор и главный момент отличны от нуля, то необходимо выяснить, приводится ли данная система сил к динаме или к одной равнодействующей силе. Для этого вычислим скалярное произведение главного вектора и главного момента:

Так как это произведение не равно нулю, то векторы R и не перпендикулярны и, следовательно, данная система сил приводится к динаме.

Найдем точку, через которую проходит центральная ось данной системы сил, а также величину главного момента относительно этой точки.

Для этого построим главный вектор R и главный момент по их проекциям на координатные оси и разложим главный момент по правилу параллелограмма на два составляющих момента М и , из которых М направлен вдоль главного вектора, т. е. по оси у, а перпендикулярен к нему, т. е. направлен по оси z.

Следовательно,

Пара, имеющая момент , лежит в плоскости , т. е. в одной плоскости с главным вектором R, поэтому одну из сил R этой пары можно выбрать равной по величине силе R и направленной прямо противоположно этой силе.

Тогда вторая сила этой пары будет приложена в точке , лежащей на оси , причем плечо пары будет равно

Система, состоящая из силы R и пары , очевидно, эквивалентна одной силе . Таким образом, заданная система сил эквивалентна силе и паре с моментом , причем Следовательно, заданная система сил приводится к динаме, а точка находится на центральной оси.

есть наименьший главный момент данной системы сил, т. е.

Эту же задачу можно решить другим способом.

После того как определим проекции на координатные оси главного вектора и главного момента, можно составить уравнения центральной оси данной системы сил:

Подставляя сюда значения , получим:

откуда

т. е.

Эти равенства показывают, что центральная ось проходит через точку и параллельна оси у.

Рис. 68.

Чтобы найти модуль наименьшего главного момента, достаточно скалярное произведение разделить на величину главного вектора, т. е.