Третья группа

Точка движется прямолинейно под действием силы, являющейся функцией скорости этой точки

В этом случае и теорему о кинетической энергии применяют в дифференциальной форме:

Прежде чем интегрировать, здесь нужно разделить переменные, что даст:

Выполнив интегрирование и решив полученное после этого уравнение относительно v, находим скорость как некоторую функцию от . Если в задаче требуется найти закон прямолинейного движения точки, то, заменяя и на получим:

или, разделяя переменные,

отсюда

Это уравнение устанавливает зависимость между и t, т. е. дает искомый закон движения материальной точки.

В некоторых случаях, когда действующая на материальную точку сила зависит от скорости этой точки, закон движения точки можно найти несколько проще, применяя совместно и теорему о количестве движения и теорему о кинетической энергии.

Если , то, применяя теорему о количестве движения в дифференциальной форме, имеем:

Отсюда, интегрируя, получаем уравнение вида:

Применяя затем теорему о кинетической энергии, в дифференциальной форме, получим:

Отсюда, интегрируя, имеем:

Исключая теперь из уравнений (а) и (б) переменную v, находим зависимость между координатой и временем t, т. е. находим искомый закон движения.

Пример 145. В момент, когда скорость моторного судна равна , выключается мотор. Сила сопротивления воды определяется по эмпирической формуле:

где — постоянные. Масса судна равна . Найти расстояние, которое пройдет судно с момента выключения мотора до остановки.

Решение. Направляем ось х в сторону движения судна и выбираем начало координат в той точке, где находился центр Тяжести судна в момент выключения мотора. Проекция на ось х силы сопротивления, приложенной к судну, равна

Так как эта сила является функцией скорости, то применяем теорему о кинетической энергии в дифференциальной форме:

Разделяя переменные, получим:

Обозначая а путь, пройденный судном, и учитывая, что в начале этого пути скорость судна равна , а в конце обращается в нуль, имеем:

откуда

Пример 146. Материальная точка массы , получив начальную скорость , движется по горизонтальной, абсолютно гладкой плоскости, испытывая сопротивление среды, определяемое формулой , где - скорость точки. Найти закон движения точки.

Решение. Рассмотрим решение этой задачи при помощи совместного применения теоремы о количестве движения и теоремы о кинетической энергии.

Принимая начальное положение точки за начало координат и направляя ось х в сторону движения точки, находим:

Применяя теорему о количестве движения и теорему о кинетической энергии в дифференциальной форме, имеем:

и

или, разделяя переменные и сокращая их на :

интегрируя эти уравнения, находим:

Отсюда

и

Чтобы найти зависимость между и t, достаточно из уравнений (а) и (б) исключить скорость v. Из уравнения (а) имеем:

Подставляя это значение в уравнение (б), получаем:

Эго уравнение, выражающее как функцию времени t, и есть искомый закон движения точки.

Из уравнений (а) и (б) можно также найти время Т, в течение которого двигалась точка до остановки, и пройденный ею за это время путь . Полагая в равенствах (а) и (б) , имеем: