Вторая группа

Пример 170 Прямоугольная пластинка ABCD со сторонами а и b и весом вращается вокруг вертикальной оси с начальной угловой скоростью . Каждый элемент пласгинки испытывает при этом сопротивление воздуха, направление которого перпендикулярно к плоскости пластинки, а величина прямо пропорциональна площади элемента и квадрату его скорости v; коэффициент пропорциональности равен . Сколько оборотов сделает пластинка до того момента, когда ее угловая скорость станет вдвое меньше начальной (рис. 206)?

Решение. Так как силы сопротивления, приложенные к пластинке, завися! от скорости, то для решения задачи следует воспользоваться уравнением (226)

Так как пластинка вращается вокруг неподвижной оси, то ее кинетическую энергию находим по формуле (230):

Работа силы тяжести , очевидно, равна нулю, так как высота центра тяжести пластинки не изменяется.

Рис. 206.

Чтобы вычислить работу сил сопротивления, воспользуемся формулой для определения работы сил, приложенных к вращающемуся твердому телу (см. главу III, § 3):

где — сумма моментов всех приложенных к телу сил относительно оси вращения, — элементарный угол поворота тела.

Чтобы вычислить , разобьем пластинку на элементарные прямоугольники со сторонами b и .

Тогда сила сопротивления, приложенная к такому прямоугольнику, равна

и

следовательно,

Таким образом, уравнение (226) принимает вид

или

Разделяя здесь переменные, получим:

отсюда, интегрируя, имеем:

откуда находим угол поворота пластинки:

Применяя вышеуказанную разбивку пластинки ABCD на элементарные прямоугольники, момент инерции пластинки представим в виде:

где m — масса элементарного (заштрихованного) прямоугольника. Если массу пластинки обозначим М, то масса, приходящаяся на единицу площади, будет , а потому

и

Следовательно, .

Разделив этот угол на , получим искомое число оборотов пластинки, равное .