Глава III. ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Если при движении твердого тела расстояние от любой его точки до данной неподвижной плоскости не изменяется, то такое движение тела называется плоскопараллельным.

Изучение плоскопараллельного движения тела сводится к изучению движения плоской фигуры, движущейся в своей плоскости (сечения тела плоскостью, параллельной данной неподвижной плоскости).

Задачи, относящиеся к плоскопараллельному движению тела, можно разбить на следующие основные типы:

1. Составление уравнений плоскопараллельного движения твердого тела (уравнений движения плоской фигуры).

2. Определение скоростей точек плоской фигуры.

3. Нахождение подвижной и неподвижной центроид.

4. Определение ускорений точек плоской фигуры

§ 1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ

(задачи 492—500)

Положение неизменяемой плоской фигуры в ее плоскости вполне определяется положением двух произвольных ее точек А и В.

Следовательно, изучение движения плоской фигуры в ее плоскости сводится к изучению движения прямолинейного отрезка АВ, с которым фигура неизменно связана.

Но положение отрезка АВ определяется положением, т. е. двумя координатами его точки А, называемой полюсом, и углом , который образует этот отрезок с некоторой осью неизменного направления, лежащей в плоскости данной фигуры (рис. 99).

Рис. 99.

Таким образом, движение плоской фигуры, движущейся в своей плоскости, можно определить следующими тремя уравнениями:

Уравнения (74) называются уравнениями движения плоской фигуры, или уравнениями плоскопараллельного движения твердого тела. Из этих уравнений следует, что движение плоской фигуры можно разложить на два движения: 1) поступательное движение, определяемое первыми двумя уравнениями (74), и 2) вращательное движение вокруг полюса, определяемое третьим из уравнений (74).

Рис. 100.

Пример 72. Линейка АВ эллипсографа приводится в движение кривошипом ОС, вращающимся равномерно вокруг оси О, с угловой скоростью . Принимая точку А за полюс, составить уравнения движения линейки эллипсографа если (рис. 100)

Решение. Так как точка А движется по оси , то . Если угол, образуемый линейкой АВ с осью , обозначим , то из равнобедренного треугольника АОС будем иметь: , или .

При равномерном вращении угол АОС поворота кривошипа за t сек будет равен , т. е.

Таким образом, уравнения движения линейки АВ имеют вид:

Пример 73. Шестеренка радиуса , катящаяся внутри неподвижного колеса радиуса R, приводится в движение кривошипом ОА, вращающимся равномерно вокруг оси О этого колеса, с угловой скоростью .

Составить уравнения движения подвижной шестеренки, принимая ее центр А за полюс (рис. 101).

Рис. 101.

Решение. Найдем координаты полюса А.

Из треугольника ОАВ имеем:

но , как угол поворота кривошипа при равномерном вращении.

Следовательно,

Далее нужно найти угол поворота подвижной шестеренки вокруг полюса А. Для этого рассмотрим радиус AM подвижной шестеренки, который в начальный момент занимал положение .

Тогда угол поворота равен

При этом отрезок АЕ параллелен оси х и, следовательно, Так как качение подвижной шестеренки по неподвижной происходит без скольжения, то

Но

и

а поэтому

откуда

Таким образом, искомые уравнения движения запишутся так: