Задачи типа II (задачи 909, 910)

Пример 180. Три стержня одинакового веса Q соединены между собой шарнирами. Первый стержень может вращаться вокруг неподвижного шарнира О, а к свободному концу третьего стержня приложена горизонтальная сила F, которая удерживает всю систему в вертикальной плоскости в равновесии.

При этом стержни образуют с вертикалью углы, соответственно равные . Определить эти углы, если (рис. 218).

Решение. Принимая центр шарнира О за начало координат, координатные оси направляем, как указано на рис. 218. На шесть координат точек А, В и С рассматриваемой системы наложено три условия (); следовательно, система имеет степени свободы.

В соошетствии с этим положение данной системы определяется тремя независимыми друг от друга параметрами — тремя углами .

Рис. 218.

Вес каждого стержня можно разложить на две составляющие, приложенные по его концам; тогда получим систему сил, показанную на рис. 218. Пользуясь аналитическим выражением элементарной работы, условие равновесия этой системы сил можно выразить в следующем виде:

Учитывая, что по условию задачи , и производя сокращение, имеем

Вводя обозначения и , выражаем координаты точек А, В и С через искомые углы :

Отсюда находим выражения вариаций координат этих гочек через вариации углов :

Подставляя эти значения вариаций координат в уравнение, выражающее условие равновесия системы, и группируя члены, содержащие , получаем

Это равенство должно выполняться при всяком возможном перемещении данной системы, т. е. при любых значениях вариаций , а так как эти вариации друг от друга не зависят и каждая из них может иметь произвольное значение, то это возможно лишь при условии, что коэффициент при каждой из вариаций равен нулю, т. е.

или .

Отсюда находим