§ 1. ЗАДАЧИ ТИПА I

Прямолинейное движение точки (задачи 322—324, 336-342, 408-411)

Если точка движется прямолинейно, то в этом случае скорость v и ускорение w направлены по прямолинейной траектории, а модули их равны:

где - расстояние движущейся точки, отсчитываемое от некоторой неподвижной точки О траектории.

Если выбрать прямую, по которой движется точка, за ось , а расстояние обозначить через , то проекции векторов скорости и ускорения на направление траектории будут равны:

где и - лгебраические значения скорости и ускорения, причем знаки указывают, в какую сторону по оси направлены векторы скорости и ускорения.

При составлении уравнения прямолинейного движения точки необходимо рассматривать положение движущейся точки в произвольный момент времени t, а не ее начальное или конечное положение и выразить ее расстояние от начала отсчета как функцию времени .

Рис. 88.

Пример 53. Линейка эллипсографа длиной скользит своими концами по осям . Конец А линейки движется по оси , причем закон этого прямолинейного движения выражается так: . Составить уравнение движения точки В и определить скорости и ускорения точек А и В (рис. 88).

Решение. Точка В движется прямолинейно по оси расстояние этой точки от неподвижной точки О найдем из прямоугольного треугольника ОАВ:

Таким образом, уравнением прямолинейного движения точки В запишется так: .

Скорости и ускорения точек , которые направлены соответственно по осям , найдем по формулам (49):

Так как и то скорость ползуна В направлена к точке О и ползун движется ускоренно.

Пример 54. Круглый эксцентрик диаметром 2г вращается вокруг оси О, отстоящей от геометрической оси С эксцентрика на расстоянии равном ; угол изменяется по закону (угол измеряется в радианах, — в см, a t — в сек).

Найти уравнение прямолинейного движения точки М стержня MN, движущегося в вертикальных направляющих, как указано на рис. 89, а также скорость и ускорение этой точки в момент сек (рис. 89).

Рис. 89.

Решение. Стержень MN движется в вертикальных направляющих, а потому точка М стержня движется прямолинейно по неподвижной прямой, проходящей через точку О и направленной вдоль стержня MN.

Выберем эту прямую за ось , а начало отсчета — в точке О и выразим расстояние как функцию времени для этого достаточно выразить отрезок ОМ через угол . Проведя из точки С высоту СЕ в треугольнике МОС, имеем:

Но , а потому

Подставляя значения угла в последнее равенство, получим закон движения точки М:

Скорость и ускорение точки М найдем по формулам (49):

или

Кроме того,

Так как , то

Таким образом,

В момент сек

Так как , то скорость и ускорение точки М направлены от точки О, т. е. по вертикали вверх, и точка М движется ускоренно.