Задачи типа II. Равновесие системы тел при наличии трения (задачи 186 — 188)

Пример 30. Два груза А и В, веса которых равны Р и Q, лежащие на наклонных плоскостях с углами , связаны веревкой, перекинутой через блок О.

Найти отношение весов при равновесии, если угол трения грузов о плоскость равен (рис. 54).

Решение. Найдем наибольшую величину отношения , при которой еще возможно равновесие, предполагая, что дальнейшее увеличение этого отношения вызовет движение груза А по наклонной плоскости вниз, а, следовательно, груз В начнет двигаться вверх. В этом случае силы трения , приложенные к грузам А и В, будут направлены вдоль соответствующих наклонных плоскостей, как указано на рисунке. Нормальные реакции наклонных плоскостей, к грузам, обозначим и . Рассмотрим равновесие груза А, к которому приложены силы , а также сила натяжения Т, веревки.

Рис. 54.

Проектируя эти силы на направление АО и направление, перпендикулярное к АО, получим два уравнения равновесия:

Аналогично, рассматривая равновесие груза В, к которому приложены силы , и сила натяжения веревки, и проектируя эти силы на направление ОВ и направление, перпендикулярное к ОВ, получим еще два уравнения равновесия:

Учитывая, что , исключим эти две неизвестные силы, сложив первое уравнение с третьим.

Тогда получим:

Но

а

поэтому

С другой стороны, из первого равнения имеем:

Следовательно,

Разделив это уравнение на Q, получим:

Отсюда

и

Таким образом, мы нашли наибольшее значение отношения , при котором еще возможно равновесие, т. е.

Найдем теперь наименьшее значение отношения , при котором существует равновесие, но так, что дальнейшее уменьшение этого отношения вызовет опускание груза В и поднятие груза А,

В этом случае направления сил трения будут противоположны направлениям этих сил в предыдущем случае.

Поэтому, чтобы получить наименьшее значение отношения , достаточно в первом и третьем уравнениях равновесия изменить знаки при и на обратные, что равносильно изменению знака при в четвертом уравнении.

Следовательно, будем иметь:

Таким образом, равновесие данной системы возможно при условии:

Пример 31. Два клина А и В, коэффициент трения между которыми , могут двигаться без трения в своих направляющих. К клину А приложена сила .

Какую силу Q нужно приложить к клину В, чтобы клин А двигался равномерно в направлении действия силы , если углы известны? Весом клиньев пренебречь (рис. 55).

Решение. Обозначим реакцию направляющих, приложенную к клину через , а реакцию направляющих, приложенную к клину через . Так как каждый клин может двигаться в своих направляющих без трения, то реакции и направлены по нормали к поверхности соответствующего клина

Рис. 55.

При равномерном движении клина А в направлении силы Р клин В будет скользить по клину А вверх а потому сила трения , приложенная к клину будет направлена по прямой CD вниз, т. е. в сторону, противоположную перемещению клина В относительно клина А. По закону равенства действия и противодействия сила трения клина В, приложенная к клину А, будет равна по величине и направлена противоположно силе трения , а нормальная реакция клина А, приложенная к клину В, равна по величине и направлена противоположно нормальной реакции N, клина В, приложенной к клину А, т. е.

Так как клин Л движется равномерно, то силы приложенные к этому клину, уравновешиваются. При этом клин В будет также двигаться равномерно, и, следовательно, силы , приложенные к этому клину, тоже уравновешиваются. Поэтому сумма проекций всех сил, приложенных к каждому клину, на направление движения этого клина равна нулю, т. е.

Кроме того,

где — коэффициент динамического трения. Подставив эти значения сил трения в первое и второе уравнения, будем иметь:

Но

поэтому

откуда

Пример 32. Подъемное приспособление состоит из двух жестких прямоугольных рычагов АСВ и DKE, скрепленных шарнирно с поперечиной СК. Верхние подушки, соединенные с этими рычагами при помощи шарниров А и D, раздвигаются клином М, а нижние подушки; вращающиеся на шарнирах В и Е, зажимают поднимаемый груз весом . Определить силу, растягивающую поперечину и наименьший коэффициент трения , нижних подушек о стенки груза, при котором, груз может быть удержан, если заданы коэффициент трения f между верхними подушками и клином, углы и длины . Весом приспособления пренебречь (рис. 56).

Рис. 56.

Решение. Система состоит из трех тел: двух рычагов АСВ и DKE и поднимаемого груза. Обозначим силы давления рычагов на груз в точках В и Е, направленные перпендикулярно к стенкам груза, через и , а нормальные реакции груза, приложенные к рычагам ВСА и EKD, — через .

Тогда .

Рис. 57.

Силы трения F, и , приложенные к грузу, направлены по вертикали вверх, а к подушкам рычагов приложены соответственно силы трения F, и причем .

Рис. 58.

В точках А и D к верхним подушкам приложены нормальные реакции клина, направленные перпендикулярно к его боковым поверхностям, и силы трения , направленные перпендикулярно к силам вверх. По формулам (25) и (26) имеем:

Из условий равновесия груза под действием веса , нормальных реакций и и сил трения F, и , имеем:

Тогда

Теперь рассмотрим равновесие рычага АСВ под действием сил , и реакции поперечины СК, направленной вдоль этой поперечины.

Приравнивая нулю сумму проекций всех этих сил на оси х и у и сумму их моментов относительно точки С, имеем:

где (рис. 58). Из треугольника , в котором , находим:

Далее, из треугольника СВВ, имеем:

Кроме того, из уравнений (а), и (с):

где — угол трения между верхними подушками и клином. Уравнения равновесия принимают вид:

Так как

то окончательно имеем:

Из уравнения (2) находим:

Подставив найденное значение в уравнения 1 и 3, находим из этих уравнений :

откуда