§ 2. ПЕРВАЯ ОСНОВНАЯ ЗАДАЧА ДИНАМИКИ ТОЧКИ

Эта задача заключается в том, что по заданному движению и известной массе материальной точки требуется определить силу, действующую на эту точку, или, если на материальную точку действует несколько сил, определить одну из них.

Решение этой задачи сводится к определению ускорения точки, которое в том случае, когда движение точки задано, нетрудно найти по правилам кинематики.

Задачи этого параграфа можно разделить на следующих два основных типа в зависимости от траектории движущейся точки:

I. Задачи, относящиеся к прямолинейному движению точки.

II. Задачи, относящиеся к криволинейному движению точки.

Задачи типа I

Задачи этого типа, в которых рассматривается прямолинейное движение точки, решаются при помощи уравнения (111); их можно разделить на две группы.

Первая группа

Задачи, в которых к движущейся материальной точке приложена одна сила. Необходимо определить эту силу.

Пример 98. Материальная точка массой совершает гармонические колебания по горизонтальной оси по закону ( х выражено в см, сек). Найти силу, действующую на точку в функции от .

Решение. Находим проекцию ускорения точки на ось :

Далее находим проекцию на ось действующей силы:

Но , а потому .

Так как проекция силы на ось и координата движущейся точки противоположны по знаку, то искомая сила направлена вдоль оси к началу координат О.

По модулю эта сила равна , т. е. пропорциональна расстоянию от движущейся точки до начала О.

Вторая группа

Ко второй группе относятся задачи, в которых к движущейся материальной точке приложено несколько сил, причем требуется найти одну из них.

К этой группе следует отнести такие задачи, в которых требуется определить неизвестную реакцию связи, что характерно для движения несвободной материальной точки.

Пример 99. Клеть весом поднимается с помощью каната, навернутого на барабан радиуса R, вращающийся вокруг неподвижной горизонтальной оси по закону:

Определить натяжение каната как функцию высоты подъема h (рис. 139).

Решение. При повороте барабана на угол клеть поднимается на высоту . Силу натяжения каната обозначим через Т. На клеть действуют две силы: натяжение каната Т и вес клети , причем , так как ускорение клети направлено вверх. Равнодействующая этих сил . Применяя формулу (108), получим:

откуда

Ускорение w клети найдем по формуле

или

Следовательно,

Задача типа II

Задачи этого типа, в которых рассматривается криволинейное движение материальной точки, можно также разделить на две группы, как и задачи первого типа.

Первая группа

Задачи, в которых к движущейся материальной точке приложена одна сила; требуется определить эту силу.

Если движение точки задано уравнениями в декартовых координатах:

где х, у, z — координаты точки; t — время, то на основании уравнений (110) находим проекции искомой силы на три координатные оси:

Рис. 139.

Затем нужно найти модуль действующей силы F и ее исправляющие косинусы по формулам:

Пример 100. Материальная точка массой кг совершает движение согласно уравнениям:

причем координаты точки выражены в метрах, время — в секундах. Определить величину и направление силы, действующей на точку, в момент сек.

Решение. 1. Находим проекции скорости данной точки на оси координат:

2. Находим проекции ускорения точки на оси координат:

3. На основании уравнений (114) находим проекции силы на оси координат:

4. По формулам (115) и (116) находим модуль силы и направляющие косинусы:

откуда

Если же движение точки задано естественным способом, т. е. задана траектория точки и закон ее движения по этой траектории s — то следует, воспользовавшись уравнениями (112), найти проекции искомой силы F на естественные оси, а затем по этим проекциям вычислить ее модуль.

Пример 101. Материальная точка массой кг описывает криволинейную траекторию по закону выражено в ,

— в сек). В данный момент она занимает положение М и имеет скорость , причем радиус кривизны траектории в точке М равен . Найти в этот момент силу, действующую на эту материальную точку.

Решение. Находим скорость точки и проекции ее ускорения на касательную и главную нормаль траектории:

Согласно условию, в данный момент t имеем поэтому , откуда или .

Следовательно, в этот момент

Теперь на основании уравнений (112) находим проекции искомой силы на касательную и главную нормали:

Отсюда искомая сила

Вторая группа

Задачи, в которых к движущейся материальной точке приложено несколько сил и одну из них требуется найти.

В этой группе, так же как и в задачах второй группы типа 1, часто встречаются такие задачи, где требуется определить неизвестную реакцию связи при движении несвободной материальной точки.

Пример 102. Центробежный регулятор состоит из двух шаров А и В весом каждый, муфты С весом Q и четырех одинаковых невесомых стержней , закрепленных по концам шарнирно. Регулятор вращается вокруг неподвижной вертикальной оси .

Определить усилия в стержнях и угловую скорость регулятора, предполагая, что угол , образуемый каждым из стержней с вертикалью, имеет заданное постоянное значение (рис. 140).

Рис. 140.

Решение. Рассмотрим движение шара А, принимая его за материальную точку, которая описывает окружность, расположенную в горизонтальной плоскости, с центром в точке О, и радиусом, равным R.

К этому шару приложены три силы: вес и реакции и стержней AD и АС, направленные вдоль этих стержней и равные искомым усилиям. Применяя уравнения движения материальной точки в естественной форме, т. е. уравнения (112), и проектируя все силы, приложенные к шару А, на естественные оси , показанные рис. 140, имеем:

, или, учитывая, что , получим:

Следовательно,

Аналогичным соотношением удовлетворяют действующие на шар реакции S, и стержней BD и СВ, причем, очевидно, . Рассмотрим теперь муфту С, к которой приложены вес Q и реакции стержней С А и СВ, равные по модулю и противоположные по направлению силам . Так как при муфта С по оси z не перемещается, то сумма проекций всех приложенных сил на ось z равна нулю, т. е.

Таким образом, мы получили следующие три уравнения для определения неизвестных :

Решая эти уравнения, находим:

Пример 103. Материальная точка массы движется в плоскости в сопротивляющейся среде под действием силы притяжения к центру О, равной , где , — радиус-вектор этой точки. Найти силу сопротивления среды как функцию скорости, если известны уравнения движения точки:

причем

Решение. 1. Находим проекции скорости и ускорения движущейся точки на ось :

так

то

На основании уравнений (96) имеем:

но

а потому

или

откуда

Аналогично находим . Следовательно, искомая сила , т. e. сила сопротивления среды, пропорциональна скорости точки и направлена противоположно этой скорости.

Таблица 14. Классификация задач