Третья группа
Задачи, в которых равнодействующая всех сил, приложенных к данной материальной точке, есть функция координаты этой точки. В этом случае дифференциальное уравнение движения точки имеет вид
или
Чтобы свести это дифференциальное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными, преобразуем левую часть:
Тогда
или
Отсюда, интегрируя это уравнение в соответствующих пределах, имеем:
Из этого равенства находим скорость v как функцию от расстояния 
, или, разделяя переменные 
и проинтегрировав это уравнение первого порядка, найдем зависимость между 
и t. Если 
является линейной функцией от 
, то уравнение (111) будет линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Поэтому для решения этого уравнения можно воспользоваться общей теорией интегрирования таких дифференциальных уравнений, т. е. составить соответствующее характеристическое уравнение, найти его корни и затем — общее решение данного дифференциального уравнения.
Две произвольные постоянные в общем решении находятся по начальным условиям движения точки.
Пример 106. Материальная точка М массы 
движется прямолинейно по оси 
. Точка отталкивается от неподвижного центра О силой F, пропорциональной массе 
и расстоянию, причем коэффициент пропорциональности равен 
. Найти закон движения точки, если начальное расстояние ее от центра О равно 
, а начальная скорость 
(рис. 142).
Рис. 142.
Решение. Первый способ. По условию задачи 
, поэтому дифференциальное уравнение движения имеет вид
или
Так как в данном случае 
, то по формуле (120) имеем;
откуда
или
т. е.
и
Отсюда
или
Следовательно,
Из этого соотношения находим:
откуда
или
Второй способ. Так как в данном случае функция 
является линейной функцией от 
, то дифференциальное уравнение (120) является линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.
Для решения этого уравнения воспользуемся теорией интегрирования линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и составим соответствующее характеристическое уравнение: 
. Найдем его корни: 
.
Следовательно, общее решение выразится так:
Постоянные С, и 
находим по начальным условиям движения. Для этого сначала найдем скорость точки, продифференцировав последнее уравнение по времени 
:
В начальный момент при 
согласно условию имеем:
Следовательно,
откуда
таким образом,
