Третья группа

В этих задачах, кроме моментов , к вращающемуся телу приложен момент , выражающийся периодической функцией времени, т. е. изменяющейся со временем, например по гармоническому закону (по закону синуса или косинуса).

Если , где — постоянные величины, то уравнение (221) имеет вид

или

где

Здесь мы имеем дифференциальное уравнение порядка с правой частью, отличной от нуля. Интегрирование такого уравнения рассмотрено в § 3 главы II; его общее решение имеет вид

или

Второй член в правой части этого равенства выражает вынужденные крутильные колебания. Амплитуда b и начальная фаза этих вынужденных колебаний, согласно сказанному в § 3 главы II, определяются по формулам:

Постоянные определяются по начальным условиям вращательного движения тела.

При , т. е. при равенстве частот свободных гармонических и вынужденных колебаний, имеем явление резонанса. Амплитуда вынужденных колебаний в этом случае будет

При отсутствии момента сопротивления нужно в уравнениях и формулах третьей группы задач положить . Тогда дифференциальное уравнение крутильных колебаний имеет вид: , а его общее решение

или

Амплитуда вынужденных крутильных колебаний будет определяться по формуле

При , т. е. в случае резонанса при отсутствии сопротивлений общее решение предыдущего дифференциального уравнения (закон вращательного движения тела) имеет вид

или

Постоянные а и а определяются, как и в предыдущем случае (при наличии сопротивления), по начальным условиям движения тела.

Пример 164. Для определения коэффициента вязкости жидкости наблюдают колебания диска, подвешенного на упругой вертикальной проволоке в жидкости. К диску приложен переменный момент, равный , при котором наблюдается явление резонанса. Момент сопротивления движению диска в жидкости равен , где — коэффициент вязкости жидкости, - сумма площадей верхнего и нижнего оснований диска, — его угловая скорость.

Определить коэффициент вязкости жидкости , если амплитуда вынужденных колебаний диска при резонансе равна .

Решение. К диску, вращающемуся вокруг вертикальной оси, приложен момент М упругих сил, возникающий при закручивании проволоки на угол и пропорциональный этому углу, момент сопротивления жидкости и переменный момент .

Поэтому в данном случае имеем:

Так как по условию задачи при данной частоте наблюдается резонанс, причем амплитуда вынужденных крутильных колебаний диска равна , то по вышеуказанной формуле находим откуда