Задачи типа II (задачи 930, 943—948)

Пример 183. Через блоки А и В с неподвижными осями переброшен шнур, поддерживающий подвижной блок С, части шнура, не лежащие на блоках, вертикальны. Блок С нагружен гирей весом , а к концам шнура прикреплены грузы весом .

Определить ускорения всех трех грузов, пренебрегая массой блока и шнура и трением на осях (рис. 221).

Рис. 221.

Решение. Располагая координатные оси, как указано на рис. 221, применяем общее уравнение динамики в форме (244), которое в данном случае принимает вид

где - проекции искомых ускорений грузов на ось . Учитывая, что длина шнура постоянна, очевидно, имеем

Таким образом, три координаты , определяющие положение данной системы (предполагается, что все грузы перемещаются прямолинейно), связаны одним условием, следовательно, данная система имеет две степени свободы. Варьируя последнее равенство, находим зависимость между вариациями координат трех грузов:

отсюда

Подставляя это значение в уравнение Даламбера—Лагранжа и вынося за скобки множители , получим

Это уравнение имеет место при любых, независимых друг от друга значениях вариаций , а это возможно лишь при условии, что коэффициент при каждой из этих вариаций равен нулю. Следовательно, должно быть:

или, подставляя данные числовые значения весов,

Отсюда

Чтобы получить третье уравнение для определения трех искомых ускорений, продифференцируем дважды по t уравнение . Тогда имеем

или

Подставляя сюда значения , получаем

Отсюда находим

и, следовательно,

Отрицательное значение ускорений , указывает на то, что их направление совпадает с отрицательным направлением оси х, т. е. что эти ускорения направлены вверх.