Задачи типа V

Представим себе движущееся твердое тело, одна точка О которого закреплена неподвижно, например при помощи сферического шарнира (рис. 200).

Как известно из кинематики, в каждый данный момент такое тело вращается вокруг некоторой определенной мгновенной оси, проходящей через неподвижную точку О. Вектор мгновенной угловой скорости тела, направленный по мгновенной оси вращения, обозначим , а его проекции на координатные оси, начало которых находится в точке О, обозначим . Найдем кинетический момент этого тела относительно оси .

Рис. 200.

Рис. 201.

Разбивая тело на элементарные частицы и применяя формулы (212), имеем

где — масса элементарной частицы, у и z — ее координаты, а проекции скорости частицы на оси у и z.

Проекции на координатные оси скорости v точки вращающегося твердого тела определяются по кинематическим формулам Эйлера:

Следовательно,

или

где — момент инерции тела относительно оси х, — центробежные моменты инерции тела.

Если координатные оси х, у, z направим по главным осям инерции данного тела в точке О, то а потому в этом случае .

Аналогично найдем, что при этом условии кинетические моменты тела относительно осей у и z будут равны

Предположим теперь, что твердое тело, имеющее форму тела вращения вокруг оси АВ, например колесо или тор, равномерно вращается вокруг этой оси АВ с угловой скоростью в то же время эта горизонтальная ось АВ вращается равномерно вокруг неподвижной вертикальной оси с угловой скоростью . Требуется определить реакции в подшипниках А и В, перпендикулярные к оси АВ, если вес тела равен и , причем С — центр тяжести данного тела (рис. 201, а и б). Такое тело представляет собой гироскоп с двумя степенями свободы.

Вращение вокруг оси АВ с угловой скоростью , называется собственным вращением гироскопа, а вращение с угловой скоростью вокруг оси z называется прецессионным вращением, или прецессией гироскопа. Неподвижную точку пересечения осей вращения примем за начало координат О и направим координатные оси, как указано на рис. 201, а. Горизонтальные реакции подшипников А и В, параллельные оси х, обозначим : вертикальные статические реакции подшипников, обусловленные только весом гироскопа, обозначим , причем очевидно , а динамические вертикальные реакции обозначим и

Найдем кинетический момент гироскопа относительно неподвижной точки О. Сложив векторы и получим абсолютную мгновенную угловую скорость гироскопа Q [см. равенство (107)]. Так как гироскоп есть тело вращения вокруг оси то эта ось и две перпендикулярные к ней оси х и z являются главными осями инерции гироскопа в точке О, а потому, как было указано выше, кинетические моменты гироскопа относительно этих осей равны

Учитывая, что являются проекциями вектора на координатные оси, по найденным проекциям строим вектор (рис. 201, б).

Применяя теперь теорему о кинетическом моменте системы относительно неподвижной точки О (см. уравнение 213), имеем

Так как производная есть скорость точки К, то

Это равенство выражает теорему Резаля, т. е. скорость, с которой перемещается конец вектора, изображающего кинетический момент системы относительно неподвижной точки О, равна главному моменту внешних сил, действующих на эту систему, относительно той же точки.

Так как , то вектор OK, описывает круглый конус, вращаясь вокруг оси z с угловой скоростью . Отсюда следует, что вращательная скорость точки К направлена параллельно оси х, как показано на рис. 201, б и по модулю равна

Применяя затем теорему о движении центра тяжести системы (см. уравнение 206), имеем

где - главный вектор внешних сил, которыми в данной задаче являются вес и искомые реакции подшипников . Проектируя это векторное равенство и равенство (223) на оси х и z и учитывая, что силы взаимно уравновешиваются, получим четыре уравнения:

Так как скорость параллельна оси х, а центростремительное ускорение точки С направлено по оси у (от С к О), то . Поэтому предыдущие уравнения принимают вид

Из этих уравнений находим:

Так как динамические реакции и равны по модулю и направлены противоположно, то они образуют пару с моментом, равным , называемым гироскопическим моментом. Следовательно, обозначая этот момент , имеем

Эта пара лежит в плоскости, в которой расположены векторы . Учитывая направления векторов , получаем векторное равенство:

Возникновение реакций и , а также гироскопического момента, обусловленное изменением направления оси АВ собственного вращения гироскопа, называется гироскопическим эффектом.

Пример 165. Турбина, вал которой параллелен продольной оси судна, делает 300 оборотов в минуту: вес вращающихся частей равен , а их радиус инерции относительно оси вращения турбины равен . Определить гироскопические давления на подшипники, расстояние между которыми , если судно поворачивается вокруг вертикальной оси на 15° в сек.

Решение. Обозначая угловую скорость вращения судна вокруг вертикальной оси z через , а угловую скорость вращения турбины вокруг горизонтальной оси у через , имеем:

По формуле (224) находим гироскопический момент

но

где — вес вращающихся частей турбины и — их радиус инерции; поэтому .

Искомые гироскопические давления образуют пару сил, лежащую в вертикальной плоскости, причем момент этой пары равен , а ее плечо равно , следовательно, вертикальное гироскопическое давление на каждый подшипник равно

Пример 166. С концом вертикального вала шарнирно соединен горизонтальный стержень ОС, на который свободно насажен массивный цилиндрический каток (бегун).

При вращении вала вокруг вертикальной оси z бегун катится без скольжения по горизонтальной плоскости, на которую закладывается измельчаемый материал (рис. 202, а и б). Определить гироскопические реакции в точках О и А, а также усилие в стержне ОС, если заданы вес , длина , радиус бегуна R и угловая скорость вала .

Рис. 202.

Решение. Обозначим угловую скорость собственного вращения бегуна вокруг оси ОС через . Так как качение бегуна по горизонтальной плоскости происходит без скольжения, то скорость точки А равна нулю; поэтому мгновенная ось вращения бегуна проходит через точки О и А, а его абсолютная угловая скорость Q направлена по прямой ОА, причем .

Построив параллелограмм угловых скоростей, из подобных треугольников ОАС и имеем:

Теперь по формуле (224) находим гироскопический момент

Рассматривая бегун как однородный цилиндр, имеем

и, следовательно,

Гироскопические реакции в точках О и А образуют пару сил, момент которой равен и направлен, согласно формуле (224), по оси , как указано на рис. 202, а. Отсюда следует, что, во-первых, силы и имеют направления, указанные на рис. 202, а, и, во-вторых,

Таким образом, полире давление бегуна на горизонтальную плоскость в точке А равно сумме двух сил: веса и гироскопического давления, равного , т. е.

Центростремительное ускорение центра тяжести С бегуна направлено вдоль оси у от С к О и по модулю равно — . Поэтому, применяя теорему о движении центра тяжести системы, получим:

Таблица 19. Классификация задач

(см. оригинал)

где — реакция в точке О по направлению оси у.

Отсюда

Растягивающее усилие в стержне ОС, очевидно, равно этой реакции .