Глава II. ПЛОСКАЯ СИСТЕМА СИЛ

§ 1. ПРИВЕДЕНИЕ ПЛОСКОЙ СИСТЕМЫ СИЛ К ДАННОМУ ЦЕНТРУ

Моментом силы F относительно данной точки О называется произведение величины силы на ее плечо, т. е. на длину перпендикуляра, опущенного из точки О на линию действия этой силы.

Рис. 29.

Если сила F стремится вращать тело вокруг данной точки О в направлении, обратном движению часовой стрелки, то условимся моменг силы F относительно точки О считать положительным; если же сила стремится вращать тело вокруг точки О в направлении, совпадающем с направлением движения часовой стрелки, то момент силы относительно этой точки будем считать отрицательным. Следовательно,

Если линия действия силы F проходит через данную точку О, то момент силы F относительно этой точки равен нулю.

Сложение сил, расположенных как угодно на плоскости, можно выполнить двумя способами:

1) последовательным сложением;

2) приведением данной системы сил к произвольно выбранному центру.

Первый способ становится громоздким при большом числе слагаемых сил и неприменим для пространственной системы сил, второй же способ является общим, более простым и удобным.

Если задана система сил , расположенных как угодно в одной плоскости, то, перенося все эти силы в произвольно выбранную в этой плоскости точку О, называемую центром приведения, получим приложенную в этом центре силу

и пару с моментом

Геометрическая сумма сил данной системы называется равным вектором этой системы сил.

Алгебраическая сумма моментов сил плоской системы относительно какой-нибудь точки О плоскости их действия называется главным моментом этой системы сил относительно этой точки О.

Главный момент изменяется с изменением центра приведения; зависимость главного момента от выбора центра приведения выражается следующей формулой:

где и - два различных центра приведения.

Так как сила R и пара с моментом , получающаяся в результате приведения данной плоской системы сил к центру О, лежат в одной плоскости, то их можно привести к одной силе , приложенной в некоторой точке . Эта сила является равнодействующей данной плоской системы сил.

Таким образом, если , то система сил приводится к одной равнодействующей, не проходящей через центр приведения О. При этом момент равнедействующей относительно любой точки будет равен алгебраической сумме моментов всех данных сил относительно той же точки (теорема Вариньона).

Если начало координат выбрано в центре приведения и известны проекции всех сил на оси координат и координаты точек приложения этих сил, то момент равнодействующей находим по формуле

Если в результате приведения системы сил к данному центру окажется, что главный вектор этой системы рпвен нулю, а главный момент ее отличен от нуля, то данная система эквивалентна паре сил, причем главный момент системы равен моменту этой пары и не зависит в данном случае от выбора центра приведения. Если то система приводится к равнодействующей, приложенной в центре приведения О.

Если и , то система сил находится в равновесии. Все случаи, встречающиеся при сложении сил плоской системы, можно представить в виде табл. 3.

Таблица 3

Равновесие плоской системы сил рассмотрим в следующем параграфе, а теперь перейдем к решению задач на сложение сил плоской системы.

Пример 13. Дана плоская система четырех сил проекции X и Y этих сил на координатные оси, координаты х, у точек их приложения заданы в табл. 4.

Таблица 4

Привести эту систему к началу координат и затем найти линию действия равнодействующей.

Решение. Найдем проекции главного вектора заданной системы сил на координатные оси по формуле (14)

Откуда

Главный момент находим по формуле (15)

Пусть - точка линии действия искомой равнодействующей . Тогда

но,

и

а потому

С другой стороны, по теореме Вариньона имеем:

Следовательно,

или

Это и есть уравнение линии действия равнодействующей.

Пример 14. Найти равнодействующую четырех сил, действующих по сторонам правильного шестиугольника, направление которых указано на рис. 30, если .

Рис. 30.

Решение. Выберем за центр приведения центр О шестиугольника и найдем главный вектор R и главный момент данной системы сил относительно центра О. Так как , то главный вектор R равен , а главный момент

Для того чтобы найти момент силы , относительно точки О, опустим перпендикуляр СМ, из точки О на линию действия этой силы. Так как сила , стремится вращать шестиугольник вокруг точки О по часовой стрелке, то

где h — длина апофемы ОА, правильного шестиугольника.

Аналогично вычислим моменты остальных сил относительно точки О:

и

Итак, данная система сил эквивалентна силе , приложенной в точке О, и паре с моментом .

Одну из сил этой пары выберем равной и противоположно направленной силе и приложенной в точке О. Тогда вторая сила пары будет приложена в точке , причем . Так как

то

Силы и эквивалентны нулю, а потому данная система сил приводится к одной силе , которая, следовательно, и есть равнодействующая этой системы сил.