§ 2. ЗАДАЧИ ТИПА II
Криволинейное движение точки
Первая группа. Задачи, в которых требуется определить траекторию, скорость и ускорение точки из уравнений движения в декартовых координатах (задачи 311, 313-316, 320, 322, 326, 328, 349, 352, 354)
Если движение точки определяется уравнениями в декартовых координатах, то, для того чтобы найти траекторию точки, достаточно из уравнений движения исключить время t. Вектор скорости и вектор ускорения определяются по их проекциям на оси декартовых координат, причем
Отсюда получаем формулы разложения векторов скорости v и ускорения w по координатным осям:
Модули и направляющие косинусы векторов скорости и ускорения определяются по формулам:
Пример 55. По заданным уравнениям движения точки в декартовых координатах найти траекторию, скорость и ускорение этой точки:
(Координаты x, у и z заданы в метрах, a t — в сек.)
Решение. 1) Чтобы найти траекторию точки, исключим из уравнений движения время 
из первого уравнения имеем:
, а из второго: 
. Возведя эти равенства в квадрат и вычитая второе из первого, получим:
Следовательно, искомая траектория есть гипербола с полуосями а и 
. Полагая в начальный момент 
находим: 
, т. е. в начальный момент точка находится в вершине гиперболы 
При дальнейшем возрастании t координаты 
и у точки возрастают, оставаясь положительными. Следовательно, точка А движется по правой ветви гиперболы в направлении, указанном на рис. 90.
Воспользовавшись формулами (50), (51), найдем проекции скорости и ускорения точки на координатные оси:
Рис. 90.
Далее по формулам (54) — (56) находим
Но 
, а потому 
.
Кроме того, 
.
Так как 
, то 
, т. е. вектор ускорения направлен по радиусу-вектору движущейся точки.
Чтобы найти уравнение траектории, достаточно из уравнений движения исключить время t. Из первого и третьего уравнений имеем: 
- это есть уравнение плоскости, проходящей через ось у и биссектрису координатного угла 
.
Далее, находя из первого уравнения 
и подставляя это значение во второе уравнение, имеем: 
.
или
Это есть уравнение параболического цилиндра с образующими, параллельными оси z, причем направляющей этого цилиндра является парабола 
, лежащая в плоскости 
. Таким образом, траекторией точки является линия пересечения поверхностей
В начальный момент 
, т. е. точка находится в начале координат; так как координаты х и z изменяются периодически в пределах от —R до R, а координата у - в пределах от 0 до 
, то точка совершает колебательное движение по дуге параболы.
По формулам (50) и (51) вычислим проекции скорости и ускорения на оси х, у и z:
Следовательно,
или
Далее находим модули векторов скорости и ускорения по формулам (54) и (56):
