Вторая группа.

Задачи, в которых требуется составить уравнения движения точки в декартовых координатах и определить траекторию движения, а также скорость и ускорение точки (задачи 317, 319, 327, 332—334, 359, 369)

При решении задач этой группы следует сначала составить уравнения движения точки; для этого нужно рассмотреть положение движущейся точки в произвольный момент времени, а не ее начальное или конечное положение, и выразить ее текущие координаты как функции времени t. Далее следует придерживаться такого же плана, как и при решении задач предыдущей группы.

Рис. 91.

Пример 56. Составить уравнения движения точки М колеса паровоза, отстоящей от оси колеса на расстоянии , равном , если паровоз движется равномерно по прямолинейному участку пути со скоростью , и найти скорость и ускорение точки М. Колесо катится по рельсу без скольжения, а его радиус равен . В начальный момент точка М занимает положение на вертикальном диаметре колеса (рис. 91).

Решение. Ось направим по рельсу, а ось проведем через точку , принимая за начало координат точку . Рассмотрим два положения колеса в начальный момент и в текущий момент времени t. Отметим положение центра С колеса и его радиуса С А, на котором расположена точка М в момент t. Так как расстояние от центра колеса до рельса все время равно радиусу R, то точка С движется по прямой, параллельной оси , и притом по условию задачи равномерно, а потому расстояние от этой точки до ее начального положения равно . Так как , то есть угол поворота колеса вокруг своей оси за t сек, который обозначим через .

Для того чтобы найти уравнения движения точки М, найдем координаты зтой точки:

Из треугольника МЕС имеем:

а потому .

Найдем зависимость угла от времени t. Так как качение колеса по рельсу происходит без скольжения, то . Но

а потому

и

Таким образом,

г. е. искомой траекторией является укороченная циклоида. Если точка М находится на ободе колеса, то и мы получаем следующие уравнения движения циклоиды:

Если же , например, , то аналогично можно получить уравнения движения точки М, описывающей удлиненную цикклоиду.

Подставив значение в уравнения движения точки М, имеем

Для определения проекций векторов скорости и ускорения на оси и у воспользуемся формулами (50) и (51):

Таким образом,

Далее вычислим модули векторов скорости и ускорения w по формулам (54), (56):

Пример 57. Линейка эллипсографа см концами А и В скользит по двум прямолинейным направляющим, образующим между собой угол . Найти траекторию, скорость и ускорение точки М линейки, если и закон движения ползуна А выражается уравнением (рис. 92).

Решение. Ось направим по прямой ОВ, а ось — перпендикулярно к ОВ и построим координаты точки М:

Далее выразим координаты точки М через заданный отрезок для этого опустим перпендикуляр из точки А на ось . Из подобных треугольников АСВ и МЕВ находим:

Следовательно,

Рис. 92.

Так как из прямоугольных треугольников АОС и ABC имеем:

то

или

Остается выразить зависимость между и t. Из треугольника ОАВ по теореме синусов имеем:

откуда

Таким образом, уравнения движения точки М имеют вид: .

Чтобы найти уравнение траектории, достаточно из этих уравнений исключить для этого перепишем уравнения движения в виде:

Возведя эти уравнения в квадрат и складывая их, получим уравнение траектории (эллипс):

Теперь вычислим проекции векторов скорости и ускорения на оси координат по формулам (50) и (51):

или

Отсюда по формулам (52) и (53) находим:

где — радиус-вектор точки М. Таким образом, вектор ускорения направлен противоположно радиусу - вектору движущейся точки.