Сложение сходящихся сил, не лежащих в одной плоскости

Равнодействующая пространственной системы сходящихся сил так же, как и в случае, когда сходящиеся силы лежат в одной плоскости, равна геометрической сумме слагаемых сил, т. е. выражается по величине и направлению замыкающей стороной силового многоугольника, стороны которого равны и параллельны данным силам. Следовательно, в частном случае, когда число слагаемых сил, не лежащих в одной плоскости, равно трем, их равнодействующая выражается по величине и направлению диагональю параллелепипеда, построенного на этих силах. Силовой многоугольник, построенный для пространственной системы сходящихся сил, не является плоской фигурой. Поэтому при сложении сил, не лежащих в одной плоскости, предпочтительнее аналитический способ.

Чтобы найти аналитически величину и направление равнодействующей пространственной системы сходящихся сил (применяя теорему о проекции равнодействующей на данную ось), сначала находят проекции равнодействующей на три координатные оси :

Определив проекции равнодействующей на координатные оси, находят затем ее модуль и направляющие косинусы по формулам:

При вычислении проекции данной силы на три взаимно перпендикулярные координатные оси чаще всего встречаются следующие два случая:

1. Углы между силой и координатными осями заданы или их легко определить, исходя из условия задачи, например из соответствующего треугольника. В этом случае величина и знак проекции определяются так же, как и в случае плоской системы сходящихся сил (см. предыдущий параграф).

2. Данная сила и координатная ось, на которую нужно проектировать эту силу, не лежат в одной плоскости и угол между ними не задан.

В этом случае часто бывает целесообразно сначала спроектировать данную силу на координатную плоскость, в которой лежит ось проекций, а затем полученную проекцию силы на эту плоскость спроектировать на данную координатную ось.

При этом необходимо сначала найти угол между данной силой и координатной плоскостью, на которую проектируют эту силу, а затем определить угол между проекцией силы на эту плоскость и данной координатной осью.

Пример 4. К вершине О прямой треугольной призмы приложены пять сил , причем сила направлена по Диагонали ОВ грани ОABC, силы — по ребрам OD, ОС, ОА, а сила лежит в плоскости грани ODC и составляет с ребром OD угол 30°. Определить модуль и направление равнодействующей этой системы сил, если ,

Рис. 9.

и если известны углы: (рис. 9).

Решение. Построим систему координатных осей , направив ось по линии действия силы , ось параллельно ребру DC призмы, а ось — по ребру DO. Вычислим проекции искомой равнодействующей на оси х, у и z по формулам (9). Для этого найдем сначала проекции каждой силы на эти оси. Сила направлена по оси [, а потому . Сила F, направлена по оси z, а потому . Кроме того, силы лежат в плоскости , а потому .

Так как сила образует острый угол, равный 30°, с отрицательным направлением оси у и острый угол, равный 60°, с отрицательным направлением оси у, то .

Аналогично вычисляем

Углы, образованные силой с осями х и у, нельзя определить непосредственно из чертежа. Поэтому, чтобы найти проекции силы на оси , спроектируем сначала эту силу на плоскость и полученную проекцию, которую обозначим через спроектируем затем на оси . Тогда

где .

Кроме того, .

Найденные значения проекций всех заданных сил на координатные оси можно расположить в табл. 1.

Таблица 1

Из прямоугольных треугольников ODB и DBC находим:

Кроме того, , а потому

Отсюда

Далее вычислим проекции равнодействующей на оси , у и z по формулам (9):

Модуль и направление равнодействующей определяем по формулам (10):