Задачи типа I. Первая группа

Задачи, решаемые при помощи двух уравнений равновесия (задачи 73, 74)

Пример 28 Дробление руды при помощи щековой дробилки происходит путем раздавливания ее между подвижной щекой ВС и неподвижной щекой АС.

Найти максимальную величину угла а между щеками, при котором возможно дробление, для чего руда не должна выдавливаться вверх. Угол трения между куском руды и щеками дробилки равен (рис. 52).

Решение. Нормальные реакции щек АС и ВС обозначим N, и , силы трения — при этом

где f — коэффициент трения между куском руды и поверхностями щек АС и ВС, - угол трения.

Так как под действием сил кусок руды будет выдавливаться вверх, то приложенные к нему силы трения F, и будут направлены вдоль щек АС и ВС вниз.

Рис. 52.

Следовательно, кусок раздрабливаемой руды находится в равновесии под действием сил (весом руды пренебрегаем ввиду малых размеров куска руды), а потому сумма проекций этих сил на любую ось равна нулю. Если за оси проекций выберем направления СА и СВ, то будем иметь:

или

Сложив эти уравнения, получим:

Так как

то

или

отсюда

или

Но

а

поэтому

или

откуда

или

Следовательно, максимальная величина угла, при котором руда не будет выдавливаться вверх, равна удвоенному углу трения.

Приведенное решение этой задачи можно упростить, если за ось проекций принять биссектрису угла АСВ. Тогда достаточно составить только одно уравнение проекций на эту ось. В самом деле, проектируя все силы, приложенные к куску руду, на направление биссектрисы угла АСВ, получим:

или

откуда

Но

поэтому

откуда

или

Рассмотрим далее геометрический способ решения этой задачи.

Сначала построим линии действия полных реакций и щек АС и ВС, приложенных к куску руды в точках Е и .

Угол между полной реакцией и ее нормальной составляющей не превышает угла трения, поэтому, силами и через и угол между силами через будем иметь: .

Так как кусок руды находится в равновесии под действием двух сил и , то линии действия этих сил лежат на прямой ED. Из треугольника CDE имеем:

Но

Следовательно,

т. е.