Третья группа
Задачи, в которых равнодействующая всех сил, приложенных к данной материальной точке, зависит от положения этой точки, т. е. является функцией ее координат. Такой случай возможен, например, когда материальная точка притягивается к данному неподвижному центру или отталкивается от него силой, зависящей от расстояния точки до этого центра.
Пример 110. Материальная точка М массой отталкивается от неподвижного центра О силой , где — расстояние точки М от центра О, а с — постоянный коэффициент. В начальный момент расстояние , а скорость точки — перпендикулярна к направлению . Найти движение точки М и ее траекторию (рис. 145).
Рис. 145.
Решение. Принимая центр О за начало координат, ось х направим по , как указано на рис. 145.
Так как , то, проектируя обе части этого векторного равенства на оси и учитывая, что , где х и у — координаты движущейся точки, получаем:
Дифференциальные уравнения движения точки М согласно уравнениям (110) имеют вид:
или, полагая — ,
Каждое из этих линейных уравнений можно проинтегрировать отдельно, для этого составим характеристическое уравнение и найдем его корни:
Следовательно, общее решение дифференциальных уравнений движения точки запишется так:
Отсюда
Остается найти постоянные . При имеем:
Подставляя эти значения в предыдущие уравнения, получаем:
Отсюда находим:
Следовательно,
Эти уравнения определяют движение точки М. Чтобы найти уравнение траектории в обычном виде, достаточно из них исключить параметр t. Для этого, полагая , перепишем предыдущие уравнения в виде:
Возведя теперь эти уравнения в квадрат и вычитая второе уравнение из первого, получаем:
Траектория точки М есть гипербола.