§ 2. ТЕОРЕМА О КИНЕТИЧЕСКОМ МОМЕНТЕ СИСТЕМЫ

Главный момент количеств движения всех материальных точек системы относительно данного центра или данной оси называется кинетическим моментом системы относительно этого центра или этой оси.

Следовательно, обозначая кинетический момент системы относительно точки О (начала координат) , а кинетические моменты системы относительно координатных осей , имеем:

Теорема о кинетическом моменте системы состоит в следующем:

производная по времени от кинетического момента системы относительно данного неподвижного центра или данной неподвижной оси равна главному моменту всех внешних сил, приложенных к этой системе относительно того же центра или той же оси, т. е.

Следствие. Если главный момент всех внешних сил относительно неподвижного центра О или данной неподвижной оси z равен нулю, то кинетический момент системы относительно этого центра или этой оси остается неизменным, т. е.

При поступательном движении твердого тела его кинетический момент относительно любой оси равен моменту относительно той же оси количества движения центра масс этого тела в предположении, что в этом центре сосредоточена вся масса М тела, т. е.

Если твердое тело вращается вокруг оси с угловой скоростью , то его кинетический момент относительно этой оси равен произведению момента инерции этого тела относительно оси вращения на угловую скорость, т. е.

При этом моментом инерции тела относительно данной оси называется сумма произведений массы каждой элементарной частицы тела на квадрат ее расстояния до этой оси, т. е.

где — масса элементарной частицы, а — ее расстояние до .

Если твердое тело движется параллельно данной неподвижной плоскости, то его кинетический момент относительно любой оси , перпендикулярной к этой плоскости, равен моменту относительно оси количества движения центра масс С этого тела в предположении, что в этом центре сосредоточена вся масса М тела плюс кинетический момент тела относительно оси в его вращательном движении, вокруг этой оси, причем ось проходит через центр масс тела и параллельна оси , т. е.

где — момент инерции тела относительно оси , — алгебраическое значение угловой скорости тела (положительное, если тело вращается вокруг оси против часовой стрелки, и отрицательное в противном случае).

Из равенств (214) и (218) получаем дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси z:

где — угловое ускорение тела.

Задачи, относящиеся к этому параграфу, можно разделить на следующие пять основных типов:

I. Задачи на вычисление кинетического момента системы.

II. Задачи, в которых осуществляется сохранение кинетического момента системы относительно неподвижного центра или неподвижной оси, т. е. используются равенства (215) или (216).

III. Задачи, относящиеся к вращению твердого тела вокруг неподвижной оси.

IV Задачи, относящиеся к крутильным колебаниям.

V. Задачи на определение гироскопических реакций в случае гироскопа с двумя степенями свободы.