Глава V. ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ

Задачи, рассматриваемые в этой главе, можно разделить на следующие четыре группы:

1) задачи на определение общего центра тяжести нескольких тел, веса и положения центров тяжести которых известны;

2) задачи на определение центра тяжести однородного контура;

3) задачи на определение центра тяжести площади плоской фигуры (однородной тонкой плоской пластинки);

4) задачи на определение центра тяжести объема (однородного тела).

При решении задач, относящихся ко второй, третьей и четвертой группам, рассмотрим только те случаи, когда применим метод разбиения данной линии, плоской фигуры или данного тела на конечное число простейших по форме частей, центрь тяжести которых легко определяются.

Если данное тело имеет плоскость или ось, или центр симметрии, то центр тяжести такого тела лежит соответственнс в этой плоскости, на этой оси или в этом центре симметрии. Поэтому для упрощения вычислений при решении задач плоскость симметрии всегда нужно выбирать за одну из координатных плоскостей, а ось симметрии — за одну из координатных осей.

Первая группа (задача 298)

Если веса данных тел обозначим , а координаты их центров тяжести , то координаты общего центра тяжести этих тел определятся по формулам:

Пример 45. Центры тяжести грузов , веса которых соответственно равны , находятся в вершинах тетраэдра; высота этого тетраэдра проходит через точку М пересечения медиан основания тетраэдра. Дано: . Угол 30°. Найти положение центра тяжести этих грузов (рис. 79).

Рис. 79.

Решение. Координатные оси с началом в точке направим, как указано на рис. 79. Тогда координаты центров тяжести данных грузов будут соответственно равны:

Так как точка М есть точка пересечения медиан треугольника , то, как известно из аналитической геометрии,

Теперь, применяя формулы (40), находим координаты искомого центра тяжести:

Вторая группа (задачи 286, 299—301)

Разбив данный однородный контур на простейших по форме линий, обозначим длины этих линий а координаты их центров тяжести Тогда координаты центра тяжести данного контура определяются по формулам:

В случае плоского контура, плоскость которого принимаем за координатную плоскость , будем иметь: и, следовательно, .

Рис. 80.

Пример 46. Определить координаты центра тяжести С однородного контура AEBDKA, состоящего из дуги полуокружности АЕВ, прямолинейного отрезка BD и дуги окружности DKA с центром в точке В, если 90°.

Оси координат указаны на рис. 80.

Решение. Заданный контур разобьем на три части: полуокружность АЕВ, отрезок BD и четверть окружности DKA. Обозначим центры тяжести этих частей соответственно , а их длины . Тогда .

Центр тяжести С, дуги АЕВ лежит на оси у, причем поэтому .

Центр тяжести отрезка BD лежит в середине этого отрезка, а потому

Центр тяжести дуги AKD лежит на отрезке КВ, причем

Следовательно,

Полученные расчетные данные расположим в табл. 10.

Таблица 10

Теперь координаты искомого центра тяжести находим по формулам (40):

Третья группа (Задачи 287—296)

Разбив данную плоскую фигуру на простейших по форме частей, обозначим площади этих частей , а координаты их центров тяжести Тогда координаты центра тяжести данной фигуры определяются по формулам:

Пример 47. Определить координаты центра тяжести площади, ограниченной контуром AEBDKA (рис. 81).

Рис. 81.

Решение. Разобьем данную плоскую фигуру на две части: полукруг АЕВ и четверть круга BAKD. Обозначим центры тяжести этих частей и их площади соответственно . Тогда

Центр тяжести полукруга АЕВ лежит на оси , причем

поэтому

Центр тяжести кругового сектора ABDKA лежит на прямой ВК, причем

Координаты искомого центра тяжести данной плоской фигуры AEBDKA находим по формулам (41):

Пример 48. Определить положение центра тяжести профиля, состоящего из прямоугольника и двух уголков, размеры которых в миллиметрах указаны на рис. 82.

Решение. Выберем систему координатных осей, как указано на рис. 82, и заданный профиль разобьем на шесть прямоугольников . Обозначим центры тяжести этих прямоугольников соответственно , а их площади

Тогда

При вычислении координат , точек следует учесть, что центр тяжести прямоугольника находится в точке пересечения его диагоналей, а поэтому

Полученные данные расположим в виде табл. 11.

Рис. 82.

Искомые координаты центра тяжести данного профиля находим по формулам (42):

Если в данной фигуре имеются вырезы (отверстия), то координаты центра тяжести такой фигуры определяются тем же способом, как и в примерах 47 и 48, по тем же формулам (42), но только площади вырезанных частей (поскольку они отнимаются) нужно считать отрицательными, т. е. брать со знаком минус.

Таблица 11

Пример 49. Определить положение центра тяжести фигуры, представляющей собой круг радиусом R с центром в точке О, из которого вырезаны три круга с центрами в точках если расстояния между центрами этих кругов и их радиусы соответственно равны:

Угол равен 120° (рис. 83).

Решение. Начало координат выберем в центре О большого круга, а ось направим по прямой, соединяющей точки О и . Будем рассматривать данную фигуру, как состоящую из кругов радиусов , и полного круга радиусом R (без вырезов). Обозначим площади этих кругов а координаты их центров тяжести .

Рис. 83.

Так как центр тяжести каждого круга совпадает с центром этого круга, то

Кроме того, . Так как площади вырезанных кругов отнимаются, то, как было указано выше, их надо считать отрицательными, т. е.

Таким образом, получим табл. 12.

Таблица 12

Координаты искомого центра тяжести будут: