Третья группа
К этой группе относятся такие задачи, в которых некоторые из тел, входящих в систему, имеют вращательное движение, а другие движутся поступательно.
Метод решения задач этой группы на основании принципа Даламбера по существу ничем не отличается от метода решения задач первых двух групп. Только здесь имеются и тела, поступательно движущиеся, и гела, вращающиеся.
Пример 176. К шкиву подъемника радиусом R приложен вращающий момент М; веса грузов равны
и
. Определить угловое ускорение шкива и натяжения частей каната АС и BD, считая шкив однородным круглым цилиндром весом
и пренебрегая сопротивлениями и весом каната (рис. 213, а и б).
Рис. 213.
Решение. Решая задачу по принципу Даламбера, приложим к грузам силы инерции, равные
направленные противоположно ускорениям
этих грузов, причем
Кроме того, нужно приложить силу инерции к каждой материальной частице шкива. Так как ускорение такой частицы слагается из касательного ускорения
и нормального ускорения
, то и сила инерции этой материальной частицы является равнодействующей двух сил: касательной силы инерции
направленной противоположно ускорению
, и нормальной силы инерции (центробежной силы) направленной противоположно ускорению
.
Если массу материальной частицы обозначить
, а ее расстояние от оси вращения
, то
где
- угловое ускорение и угловая скорость шкива.
После того как мы приложим все эти силы инерции, можно, согласно принципу Даламбера, рассматривать данную систему, как находящуюся в равновесии. Следовательно, сумма моментов всех внешних сил, приложенных к этой системе, и сил инерции относительно точки О будет равна нулю. Поэтому, учитывая, что моменты относительно точки О силы
, центробежных сил и реакции в точке О равны нулю, получаем следующее уравнение:
или
Силы натяжения канатов АС и BD в это уравнение не входят, так как для данной системы эти силы являются внутренними.
Но
, где
- момент инерции шкива относительно оси О, причем для однородного круглого цилиндра
. А потому предыдущее уравнение принимает вид
Так как
, то из этого уравнения находим:
и
Для определения натяжения каната BD расчленим систему и рассмотрим в отдельности правый груз, к
приложены сила
, сила инерции
и реакция каната
(рис.
).
Так как эти силы уравновешиваются, то
откуда
Рассматривая затем равновесие левого груза в отдельности, найдем натяжение каната АС