§ 3. ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ

(уравнение Даламбера — Лагранжа)

Применяя совместно принцип Даламбера и принцип возможных перемещений к движущейся системе, можно сделать следующий вывод: при движении системы, на которую наложены совершенные связи, сумма элементарных работ всех заданных сил, действующих на систему, и сил инерции материальных точек системы равна нулю при любом возможном перемещении системы из занимаемою ею в каждый данный момент положения.

Этот результат выражается одним из следующих уравнений:

или, так как ,

или в координатной форме

Уравнение (242), или (243), или (244) называется общим уравнением динамики (уравнением Даламбера — Лагранжа).

В настоящем параграфе рассмотрим задачи двух типов:

I. Задачи, в которых требуется установить условия относительного равновесия системы.

II. Задачи, в которых требуется определить ускорения точек системы.

В задачах каждого из этих типов могут рассматриваться системы с одной или несколькими степенями свободы.

Задачи типа I (задачи 925—929, 935—939)

Рис. 220.

Пример 182. Центробежный регулятор (рис. 220) состоит из двух шаров и весом каждый, размерами которых можно пренебречь. Шары закреплены на концах и коленчатых прямоугольных рычагов, которые имеют шарнирные опоры и на перекладине , соединенной неизменно с осью регулятора. Муфта D весом отжимается вниз пружиной, а с другой стороны поддерживается роликами рычагов регулятора. Определить жесткость с пружины, если при заданной постоянной угловой скорости угол отклонения стержней СА и от вертикали равен . Даны расстояния: и длина недеформированной пружины . Высота муфты равна .

Решение. Координашые оси располагаем, как указано на рис. 220.

Заданными силами, действующими на систему, являются веса шаров и муфты, а также сила упругости пружины , где к — деформация (сжатие) пружины. Кроме того, в точках А и приложим центробежные силы инерции , где R — расстояние от центра каждого из шаров до оси вращения у.

На основании уравнения Даламбера—Лагранжа сумма работ всех этих сил при любом возможном перемещении системы равна нулю. Следовательно, пользуясь аналитическим выражением элементарной работы, имеем

Но

Кроме того, и, следовательно,

Таким образом, уравнение Даламбера—Лагранжа принимает вид

Отсюда, учитывая, что , находим

Определив Q, нетрудно найти жесткость с пружины. Действительно деформация пружины , поэтому