Задачи типа III

В задачах этого типа рассматриваются малые колебания системы с одной (первая группа) или двумя (вторая группа) степенями свободы около положения устойчивого равновесия. В этих задачах положение устойчивого равновесия следует принять за начало отсчета обобщенных координат и, далее, пользуясь уравнениями Лагранжа, составлять дифференциальные уравнения движения системы.

Эти уравнения получаются, вообще говоря, нелинейными. Однако, если заранее известно, что обобщенные координаты и обобщенные скорости являются малыми величинами, то полученные уравнения можно линеаризовать. Линеаризованные уравнения получаются из данных нелинейных уравнений путем отбрасывания членов, содержащих квадраты и более высокие степени обобщенных координат и скоростей. Например, при малых значениях координаты а можно положить . Члены, содержащие , следует отбросить.

Первая группа (задачи 1243—1247)

Пример 188. Составить дифференциальное уравнение малых колебаний системы, показанной на рис. 226, около ее равновесного положения и найти период этих колебаний, если известны массы грузов , жесткость с пружины BE и длины стержней . Массами пружины и стержней, а размерами груза А можно пренебречь. При горизонтальном положении стержня АВ вес груза А уравновешивается силой упругости пружины. При малых отклонениях системы от равновесного положения можно считать, что пружина остается вертикальной.

Решение. За обобщенную координату данной системы с одной степенью свободы принимаем угол а отклонения стержня АВ от горизонтали, отсчитываемый от оси х против часовой стрелки, тогда имеем уравнение Лагранжа:

Вычисляем кинетическую энергию системы:

где - скорости грузов А и D, но

поэтому

При малых колебаниях системы можно пренебречь малой величиной 4-ого порядка . Тогда .

Вычисляем потенциальную энергию системы:

Где h — высота точки О над поверхностью земли, К — удлинение пружины, причем

где - статическое удлинение пружины при равновесном положении сисгемы.

Следовательно,

Теперь находим

Рис. 226.

Вычисляем обобщенную силу как взятую с обратным знаком частную производную от потенциальной энергии по обобщенной координате:

Так как при равновесном положении системы сумма моментов относительно точки О сил, приложенных к рычагу АВ (веса груза А и силы упругости пружины), равна нулю, то ; поэтому

При малых колебаниях системы около положения равновесия ввиду незначительности угла а можно положить

Тогда

Подставляя найденные значения производных и обобщенной силы Q в уравнение Лагранжа, получим дифференциальное уравнение малых колебаний данной системы

или

где

Мы получили дифференциальное уравнение гармонических колебаний с круговой частотой k. Период этих колебаний равен