Вторая группа. Задачи, в которых линия действия реакции одной из связей неизвестна (задачи 129—135)

Пример 20. Однородная балка АВ весом концом А закреплена шарнирно, а промежуточной точкой D опирается свободно на гладкий неподвижный цилиндр. К концу В балки прикреплена веревка, перекинутая через неподвижный блок и несущая на свободном конце груз весом . В точке С к балке подвешен груз весом . Определить реакции опор в точках А и D, если (рис. 36).

Решение. Реакция гладкой цилиндрической неподвижной поверхности направлена по общей нормали к поверхности цилиндра и балки, а реакция веревки Т направлена вдоль веревки. Так как натяжение веревки во всех ее точках одинаково, то .

Рис. 36.

Реакция неподвижного цилиндрического шарнира приложена в точке А, а модуль и направление этой реакции неизвестны. Поэтому выберем оси координат , направленные, как указано на рис. 36, и разложим реакцию на две составляющие и , направленные по этим осям. Следовательно, балка АВ находится в равновесии под действием плоской системы непараллельных сил , а потому составим три уравнения равновесия для этой системы сил. Эти уравнения упрощаются, если их составить в форме (22). При этом за центры моментов следует выбрать такие точки, в которых пересекаются по две неизвестные силы, т. е. точку А и точку Е пересечения линий действия сил .

Составим теперь два уравнения моментов относительно точек А и Е и уравнение проекций на ось , не перпендикулярную к прямой АЕ:

Отрезки найдем из треугольников , AED и ЕМК:

Так как , то

а .

Из равнобедренного треугольника находим:

откуда

Следовательно,

Подставив значения заданных сил и вычисленных плеч, получим:

Из третьего уравнения находим :

Из второго уравнения находим

Найденные значения и подставим в первое уравнение и найдем .

Модуль полной реакции и ее угол с осью определим по формулам:

или,

т. е.

Пример 21. Однородный стержень АВ весом в точке А закреплен шарнирно, а в точке С свободно опирается на опору С. На стержень АВ действует пара с моментом , а к концу стержня В привязана веревка, перекинутая через блок D, на конце которой висит груз весом . Определить реакции шарнира А и опоры С, если см, а (рис. 37).

Решение. Реакция опоры С направлена перпендикулярно к стержню АВ. Направление реакции шарнира А неизвестно; поэтому разлагаем эту реакцию на две составляющие и , направленные по осям координат, причем ось направлена вдоль стержня АВ, а ось перпендикулярна к нему. Реакция веревки BD приложена к стержню в точке В и направлена вдоль веревки. Так как натяжение веревки BLK во всех ее точках одинаково, то реакция веревки Т равна по величине весу груза , т. е. .

Составим три уравнения равновесия, приравньвая нулю сумму проекций всех сил на координатные оси и сумму моментов этих сил относительно начала координат:

Рис. 37.

Из первого уравнения находим:

Из уравнения (3), в котором

и

находим:

Подставив значение во второе уравнение, получим:

или

Пример 22. Вертикальная ось АВ подъемного крана, вес которого равен , может вращаться в подпятнике А и подшипнике В. Груз весом поднимается при помощи веревки, перекинутой через блок Е и идущей к лебедке D, закрепленной на оси крана, как указано на рис. 38. Определить реакции подшипника В и подпятника А, если центр тяжести С отстоит от оси вращения на расстоянии, равном и (рис. 38).

Рис. 38.

Решение. Реакция подшипника В перпендикулярна к оси вращения АВ, а реакция подпятника слагается из двух составляющих , где — реакция стенок, a — реакция дна подпятника [см. рис. 16(8)].

Составим три уравнения равновесия для сил , приложенных к крану, приравнивая нулю суммы проекций этих сил на оси х и у и сумму их моментов относительно точки А:

Из третьего уравнения находим :

Подставляя значение в первое уравнение, найдем :

Из второго уравнения находим :

Примечание. Уравнения равновесия можно было составить и в другой форме, приравнивая нулю сумму моментов всех сил, приложенных к крану относительно точек А и В, и сумму проекций этнх сил на ось у;