§ 2 РАЗЛОЖЕНИЕ СИЛЫ НА СОСТАВЛЯЮЩИЕ

Задача о разложении заданной силы на две или несколько составляющих является обратной по отношению к задаче об определении равнодействующей сходящихся сил. Рассмотрим следующие основные случаи решения этой обратной задачи.

1. Разложение данной силы на две составляющие, лежащие с ней в одной плоскости, если:

а) заданы направления составляющих,

б) заданы модули этих составляющих.

2. Разложение данной силы на три составляющие, лежащие с ней в одной плоскости и направленные по трем заданным непараллельным прямым, не пересекающимся в одной точке.

3. Разложение данной силы по трем заданным направлениям, не лежащим в одной плоскости.

Для того чтобы разложить силу F (рис. 10) по двум заданным направлениям , достаточно из конца В этой силы провести две прямые, параллельные прямым , до их пересечения с этими прямыми в точках С и D. Тогда векторы АС и AD являются искомыми составляющими, т. е.

Пример 5. К узлу В шарнирно-стержневого многоугольника ABCD, сторона AD которого закреплена неподвижно, приложена заданная сила F. Найти силы, передающиеся на стержни АС и DC, если (рис. 11).

Решение. Разложим силу F на две составляющие F, и , направленные вдоль стержней АВ и ВС. Для этого построим параллелограм , в котором сила F является диагональю, т. е. . Так как в треугольнике все углы равны по 60°, то . На стержень ВС действует сила перенесем эту силу по линии ее действия в точку С и разложим ее на две составляющие и , направленные вдоль стержней АС и CD, т. е. построим параллелограмм, в котором сила является диагональю.

Рис. 10

Рис. 11

Тогда сила действует на стержень CD, а сила — на стержень АС. Таким образом, эти силы являются искомыми; причем, учитывая направления сил , видим, что стержень АС испытывает растяжение, а стержень CD — сжатие. Из прямоугольного силового треугольника находим:

Если требуется разложить данную силу F на две составляющие, лежащие с ней в одной плоскости, зная модули этих составляющих, то задача сводится к построению силового треугольника по трем его сторонам. Для построения этого треугольника проведем из центров А и В (начала и конца данной силы F) дуги радиусов и до их взаимного пересечения в точке С и дополним полученный треугольник ABC до параллелограмма АСВЕ, в котором сила F является диагональю (рис. 12).

Если требуется разложить заданную силу F по трем заданным непараллельным направлениям, лежащим с ней в одной плоскости и не пересекающимся в одной точке, то сначала продолжим эти направления так, чтобы они попарно пересекались в трех точках А, В и С, а затем перенесем заданную силу F по линии ее действия в точку пересечения с одним из трех заданных направлений, например в точку В, пересечения линии действия силы F с прямой АС (рис. 13).

Рис 12.

Рис 13.

Рис 14.

Точку В, соединим с точкой В пересечения двух других заданных направлений АВ и СВ и разложим силу F по направлениям АС и . Тогда . Сила и есть одна из трех искомых составляющих силы F, направленная вдоль АС. Остается теперь силу перенести по линии ее действия в точку В и разложить ее по направлениям АВ и СВ.

Тогда . Силы определяют искомые составляющие силы F, направленные вдоль прямых АВ и ВС.

Пример 6. К горизонтальной балке АВ, подвешенной на трех канатах AC, ED и ВК, составляющих с прямой АВ, углы 120°, 90° и 30°, в точке М приложена вертикальная сила F, равная . Определить усилия, растягивающие канаты, если (рис. 14).

Решение. Для определения искомых усилий нужно разложить силу F на три составляющие, направленные вдоль канатов AC, ED и ВК. Для этого продолжим линию действия силы F и прямую АС до их пересечения в точке , а прямые ED и ВК - до их пересечения в точке . Соединив точки и перенесем силу F в точку и разложим ее на две составляющие S, и , направленные по прямым . Применяя формулу (3) к построенному параллелограмму сил, получим:

Отсюда находим:

Далее перенесем силу в точку и разложим ее на две составляющие , направленные вдоль прямых и . Так как сила составляет с силами и соответственно углы а и 60°, то по формуле (3) получим:

откуда

Подставив найденное значение силы , получим:

где

Из прямоугольных треугольников находим:

а потому

т. е.

откуда

Силы и являются искомыми силами, растягивающими канаты СА, DE и ВК.

Пример 7. Три невесомых стержня соединены между собой в точке В. Стержни АВ и ВС лежат в координатой плоскости и составляют с осью х углы , а стержень BD расположен в плоскости и составляет с осью угол . К узлу В приложена сила F, параллельная оси у. Определить силу , растягивающую стержень BD, и силы , сжимающие стержни АВ и ВС (рис. 15).

Решение. Так как плоскость , в которой лежат сила F и прямая BD, пересекается с плоскостью , в которой расположены стержни АВ и ВС, по прямой , то разложим снячата силу F на две составляющие и направленные по прямым BD и ВО.

Рис 15.

Из построенного прямоугольного треугольника с углом у находим:

Для определения сил , действующих на стержни ВА и ВС, следует разложить силу по направлениям этих стержней, построив соответствующий параллелограмм сил. Из этого параллелограмма, заметив, что углы, образуемые силой F, с силами , равны соответственно 90° — и 90° — , по формуле (3) находим:

откуда

Таким образом,