Задачи типа II

Задачи этого типа, в которых рассматривается криволинейное движение точки и требуется найти скорость точки или время движения, можно разделить на такие же три группы, как и задачи первого типа:

1) движение происходит под действием постоянной силы;

2) движение происходит под действием силы, зависящей от времени;

3) движение происходит под действием постоянной силы в среде, сопротивление которой пропорционально первой степени скорости.

В этих трех случаях теорема о количестве движения дает первые интегралы дифференциальных уравнений движения. В первом и во втором случаях, т. е. когда сила постоянна или является функцией времени, теорема применяется в конечной форме, выражаемой уравнениями (147). Из уравнений (147) по заданным проекциям силы находят проекции скорости на координатные оси. В третьем случае теорема применяется в дифференциальной форме.

Первая группа

Так как в этом случае сила , то и ее проекции на координатные оси х, у, z постоянны. Поэтому теорему о количестве движения можно применять в конечной форме (147). Следовательно, имеем:

Из этих уравнений определяются проекции скорости, а затем и скорость V. Наоборот, зная проекцию скорости на какую-либо ось, можно найти время.

Пример 125. Определить, пользуясь теоремой о количестве движения, время, в течение которого тело, брошенное под углом к горизонту с начальной скоростью , достигает максимальной высоты (рис. 164).

Рис. 164.

Решение. Координатные оси располагаем в плоскости движения тела, причем ось х направляем горизонтально, а ось у — вертикально вверх. Составим уравнение, выражающее изменение проекции количества движения на ось у:

но (в наивысшей точке скорость тела горизонтальна), и , а потому .