Четвертая группа

Пример 82. Равносторонний треугольник ABC движется в плоскости так, что его вершины А и В перемещаются по осям , причем . Найти ускорение вершины С в момент, когда сторона АС параллельна оси , если (рис. 113, а).

Рис. 113.

Решение. 1-й способ. Выберем точку А за полюс, тогда, согласно формуле (78), имеем:

Векторы и направлены соответственно по ВА и СА, а векторы - соответственно перпендикулярны к ВА и СА, причем

Так как , то

На основании равенств (а) и (б) построим многоугольники ускорений точек В и С. Для этого из произвольной точки О проводим векторы . Далее из точки а проводим прямую, параллельную вектору , т. е. параллельную ВА, а из точки — прямую, параллельную , т. е. перпендикулярную к ВА до их взаимного пересечения в точке е. Тогда

Чтобы построить многоугольник ускорений для точки С, проведем вектор , параллельный вектору , т. е. параллельный С А и равный по модулю (так как , то ). Затем из точки d проведем вектор , перпендикулярный вектору , причем Соединив точки О и с, получим замыкающую сторону многоугольника , т. е. (рис. 113,б).

Для решения задачи методом проекций спроектируем равенство (а) на прямую ВА и прямую, перпендикулярную к ВА, а равенство оси х и у. Тогда имеем:

Отсюда

Следовательно, ускорение точки С равно по модулю и направлено по оси влево.

2-й способ (при помощи мгновенного центра ускорений). Так как в данной задаче ускорения заданы, то мгновенный центр ускорений проще всего можно найти как точку пересечения двух прямых, проведенных из точек А и В под одним и тем же углом к ускорениям точек [см. формулу (84)].

Но угол равен углу между векторами и ВА [см. формулу (80)]. Из равенства (78) имеем:

Чтобы построить вектор , т. е. разность , проведем из произвольной точки О векторы и соединим их концы. Тогда (рис. 113, в). Из прямоугольного треугольника находим:

т. е. . Отсюда следует, что вектор , проведенный из точки В, направлен по стороне ВС треугольника ABC и потому составляет с направлением ВА угол 60° (рис. 113, г). Следовательно, . Теперь, чтобы построить мгновенный центр ускорений, достаточно повернуть на угол 60° против часовой стрелки вектор вокруг точки А, а вектор вокруг точки В. Полученные после этого поворота векторы будут направлены соответственно по биссектрисе угла А треугольника ABC и по стороне точка пересечения Q этих прямых является мгновенным центром ускорений. Так как, очевидно, , то [см. формулу (83)].

Вектор составляет с направлением CQ угол , т. е. направлен по стороне СА треугольника ABC (рис. 113, г).