Вторая группа. Задачи о равновесии тела, имеющего одну из опор в виде сферического шарнира (задачи 265, 267, 275)

Пример 43. Тело, имеющее форму шестигранной призмы (рис. 77), закреплено в точке А при помощи сферического шарнира, а в точке В — при помощи цилиндрического подшипника и, кроме того, шарнирно соединено с прямолинейным невесомым стержнем СЕ, конец Е которого закреплен шарнирно. Через блок D перекинут канат. Один конец каната закреплен в неподвижной точке L, а к свободному его концу прикреплен груз весом Q.

В точке К приложена вертикальная сила , направленная вверх, и в наклонной грани прпзмы действует пара сил с моментом , направление которой указано круговой стрелкой. Определить реакции связей при следующих данных: 60°.

Рис. 77.

Решение. Показываем силы, действующие на призму: Р, Q, Т, которая удовлетворяет условию T=Q. Момент пары изобразим в виде вектора , приложенного в точке А; этот вектор направлен перпендикулярно к наклонной грани призмы так, что из его конца видим пару направленной против часовой стрелки. Реакция S стержня СЕ направлена вдоль стержня так, что стержень работает на растяжение. Принимая центр А сферического шарнира за начало координат, располагаем координатные оси, как указано на рисунке. Реакцию сферического шарнира разлагаем на три компонента вдоль выбранных осей:

Реакцию цилиндрического шарнира В разлагаем на две составляющие, учитывая, что она перпендикулярна к оси цилиндра:

Реакцию S стержня, приложенную в точке С и направленную вдоль стержня СЕ, разлагаем предварительно на горизонтальную и вертикальную составляющие, после чего легко находим ее проекции на координатные оси:

Силы заменяем одной равнодействующей , находим проекции этой силы на оси координат:

Далее имеем:

Теперь вычислим координаты точек приложения всех приложенных к призме сил и моменты этих сил относительно координатных осей (см. формулы 29):

Наконец, находим проекции вектора-момента пары на координатные оси:

Теперь нетрудно составить шесть уравнений равновесия сил, действующих на призму:

Эти уравнения можно представить проще в таком виде:

Из уравнений (д) и (е) имеем:

Подставляя эти выражения и в уравнение (г), получим уравнение с одним неизвестным S, из которого получаем: .

После этого находим: .

Теперь из уравнений (а), (б) и (в) легко определяются величины .