§ 3. СЛОЖЕНИЕ ВРАЩЕНИЙ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ ПЕРЕСЕКАЮЩИХСЯ ОСЕЙ

Если относительное и переносное движения тела являются вращательными вокруг пересекающихся осей (рис. 135), то распределение абсолютных скоростей в теле в каждый данный момент такое, как при вращательном движении вокруг мгновенной оси, проходящей через точку пересечения осей составляющих вращений и направленной по диагонали параллелограмма, построенного на угловых скоростях этих вращений. Вектор абсолютной угловой скорости тела равен геометрической сумме векторов его переносной и относительной угловых скоростей:

Пример 95. Зная угловую скорость водила H планетарной конической передачи (рис. 136, а) найти относительную и абсолютную угловые скорости колеса , находящегося в зацеплении с неподвижным колесом 2.

Даны радиусы и колес, а также углы и растворов их начальных конусов.

Рис. 135.

Решение. Движение колеса складывается из вращательного движения водила H вокруг оси с угловой скоростью (переносное движение) и вращательного движения вокруг оси по отношению к водилу H с некоторой угловой скоростью (относительное движение). При указанном на рис. 136, а круговой стрелкой направлении вращения водила вектор сон переносной угловой скорости колеса 1 направлен по оси вниз. Вектор его относительной угловой скорости направлен по оси . Мгновенная ось абсолютного движения колеса 1 совпадает с общей образующей ОР начальных конусов колес 1 и 2, так как при работе механизма эти конусы должны катиться один по другому без скольжения, что обеспечивается соответствующей формой зубьев находящихся в зацеплении конических зубчатых колес. Таким образом, вектор угловой скорости колеса 1 направлен по линии ОР. Применяя формулу (107), имеем:

Здесь и в дальнейшем одной чертой внизу подчеркнуты векторы, для которых известны только линии действия, двумя чертами — векторы, известные и по модулю и по направлению.

Для построения параллелограмма угловых скоростей, соответствующего этому векторному равенству, от центра О пересечения осей рассматриваемых вращений откладываем заданный вектор (рис. 136, а), из конца этого вектора проводим прямую, параллельную оси до пересечения в точке с осью ОР абсолютного вращения и дополняем полученный треугольник до параллелограмма, для чего из точки проводим прямую, параллельную , до пересечения в точке с осью . Векторы дают соответственно искомую относительную угловую скорость и абсолютную угловую скорость со, колеса 1. Вместо построения параллелограмма угловых скоростей можно ограничиться построением треугольника угловых скоростей, который лучше вынести за пределы механизма (рис. 136, б).

Для этого от произвольного центра о откладываем заданный вектор , а из конца и начала о этого вектора проводим до взаимного пересечения в точке , прямые (т. е. параллельно оси ) и (т. е. параллельно оси ОР). Стороны полученного треугольника , и выражают собой заданную и искомые угловые скорости, т. е. . Из параллелограмма или треугольника угловых скоростей имеем:

где — межосевой угол конической передачи.

Отсюда относительная угловая скорость колеса 1 по отношению к водилу H равна . Абсолютная угловая скорость колеса 1 равна . Модуль абсолютной угловой скорости можно определить также по теореме косинусов:

Пример 96. На ведущем валу планетарной передачи с коническими колесами (рис. 137, а) заклинено колесо 1, находящееся в зацеплении с колесами 2 двойных сателлитов, свободно сидящих на осях водила H. Колесо 2 находится в зацеплении с неподвижным колесом 4, а колесо - с колесом 3, заклиненным на ведомом валу II. Определить передаточное отношение между валами .

Решение. 1-й способ (метод Виллиса). Обозначим через радиусы колес 1, 2, 2, 3, 4. Перейдем от абсолютного движения звеньев рассматриваемого механизма к их относительному движению по отношению к водилу H.

Рис. 136.

Для этого сообщим мысленно всей системе вращение вокруг с угловой скоростью . Тогда водило, несущее ось сателлитов, остановится и мы получим обыкновенную коническую передачу, колеса которой вращаются вокруг неподвижных осей с угловыми скоростями , где 1, 3, 4. Пользуясь методом Виллиса, установим связь между угловыми скоростями колес 1, 3, 4 и водила H.

Рис. 137.

Так как звенья I, 3, 4 и H имеют общую ось вращения, то угловые скорости этих звеньев являются параллельными векторами и их можно рассматривать как алгебраические величины.

Применяя формулу Виллиса к колесам 1 и 4, имеем:

где — относительные угловые скорости колес и 4 по отношению к водилу H.

Передаточное отношение в данном случае считаем отрицательным, Так как колеса 1 и 4 при неподвижном водиле (при неподвижной оси колеса 2) вращаются в разные стороны (линейные скорости точек А и В этих колес при неподвижной оси колеса 2 имеют противоположные направления). Колесо 2 здесь играет роль паразитного колеса, его радиус не влияет на величину передаточного отношения между колесами 1 и 4. Так как абсолютная угловая скорость четвертого колеса , то из последнего уравнения находим:

Применяя вторично формулу Виллиса, уже теперь к колесам 3 и 4, имеем:

Передаточное отношение в данном случае равно произведению двух передаточных отношений (от колеса 3 к колесу 2 и от колеса 2 к колесу 4), причем это передаточное отношение является величиной положительной, так как колеса 3 и 4 при неподвижной оси колес 2 и 2 вращаются в одну сторону (линейные скорости точек В и С имеют одинаковое направление). Таким образом,

Равенства (а) и (б) выражают абсолютные угловые скорости колес и 3 через угловую скорость водила. Разделив равенство (а) на (б), получим передаточное отношение между ведущим и ведомым валами рассматриваемой передачи, т. е. передаточное отношение между колесами 1 и 3 при неподвижном колесе 4:

В этой формуле отношения радиусов находящихся в зацеплении колес могут быть заменены отношениями чисел их зубьев.

2-й способ (геометрический). Этот способ основан на построении векторных треугольников угловых скоростей. При построении указанных треугольников исходят из векторных уравнений, выражающих зависимость между угловыми скоростями звеньев рассматриваемого механизма.

Принимая движение колеса 2 за переносное движение и применяя формулу (107) к колесу 1 имеем:

где — абсолютная угловая скорость колеса , известная по Модулю и направлению (что показывают две черты снизу);

абсолютная угловая скорость колеса 2, которая по отношению к колесу 1 является переносной угловой скоростью и для которой известна линия действия (что показывает одна черта снизу);

относительная угловая скорость колеса 1 по отношению к колесу 2, для которой линия действия тоже известна (что показывает одна черта снизу). Вектор направлен по мгновенной оси вращения колеса 2, которая совпадает с общей образующей ОБ начальных конусов колеса 2 и неподвижного колеса 4, а вектор — по общей образующей ОА начальных конусов колес 1 и 2 (рис. 137, а).

Для построения треугольника угловых скоростей, соответствующего последнему векторному уравнению, от произвольного центра о (рис. 137,б) откладываем заданный вектор , а из начала о и конца этого вектора проводим до взаимного пересечения в точке прямые . Тогда имеем:

Определив угловую скорость колеса 2, переходим к определению угловой скорости и, колеса 3. Принимая опять движение колеса 2 за переносное, имеем:

Вектор и, направлен по той же оси I—II, что и вектор , а вектор общей образующей ОС колес 3 и 2. Для построения треугольника угловых скоростей достаточно из точки провести прямую ОС до пересечения в точке с прямой что дает:

Угловую скорость юн водила и угловую скорость двойного сателлита по отношению к водилу находим на основании уравнения

Вектор (он направлен по оси I — II, а вектор оси .

Проведя из конца вектора прямую до пересечения в точке с прямой , имеем:

Искомое передаточное отношение определяется так:

Это передаточное отношение можно выразить также через углы растворов начальных конусов конических колес. Обозначив половины указанных углов через треугольника имеем:

Из треугольника следует:

Поделив эти равенства, получим

Выражая функции углов . через радиусы конических колес, этот ответ можно привести к виду, найденному ранее.

Пример 97. В дифференциальном механизме (рис. 138) ведущими звеньями являются колесо 1 и водило H, несущее ось двойного сателлита . Зная угловые скорости со, и колеса и водила H, а также радиусы всех колес, найти угловую скорость колеса 3. Известно, что .

Решение. способ (метод Виллиса). Сообщим мысленно всей системе вращение с угловой скоростью . Тогда водило H остановится, а к векторам угловых скоростей остальных звеньев механизма прибавится вектор — . Рассматривая угловые скорости звеньев 1, H и 3, имеющих общую ось вращения, как алгебраические величины, получаем следующее соотношение между относительными угловыми скоростями колес 1 и 3 по отношению к водилу Я:

Передаточное отношение между колесами 3 и 1 в их относительном движении по отношению к водилу Я здесь отрицательно потому, что при неподвижном водиле Я эти колеса вращаются в разные стороны. Отсюда, учитывая, что имеем:

В этой формуле отношения радиусов находящихся в зацеплении колес могут быть заменены отношениями чисел их зубьев.

Если бы колесо 1 и водило H вращалось в противоположные стороны, то угловую скорость одного из этих звеньев следовало бы считать положительной, а другую — отрицательной. Знак в этом случае показывал бы, в сторону какого звена ( или H) вращается колесо 3.

При решении подобных задач необходимо внимательно проследить, какой знак имеет передаточное отношение соосных звеньев в их движении по отношению к водилу.

Рис. 138.

Так, например, в механизме, изображенном на рисунке 138 в, колеса 1 и 3 при неподвижном водиле H вращаются в одну сторону, следовательно, здесь, в отличие от предыдущего, т. е.

откуда, если, по-прежнему, , то

2-й способ (геометрический). Решим эту же задачу при В данном случае мгновенная ось абсолютного движения двойного сателлита заранее неизвестна, поэтому для определения его абсолютной угловой скорости воспользуемся двумя векторными уравнениями, приняв сначала за переносное движение вращение колеса , а затем — вращение водила:

Вектор сом относительной угловой скорости сателлита по отношению к колесу направлен по общей образующей ОА начальных конусов этих колес, а вектор относительной угловой скорости сателлита по отношению к водилу H — по оси ОВ (рис. 138, а). От произвольного центра (рис. 138, б) откладываем заданные векторы , из концов а, и этих векторов проводим до взаимного пересечения в точке прямые и , тогда получим:

Определив вектор , переходим к определению угловой скорости , колеса 3, исходя из равенства:

Вектор направлен по оси вращения колеса 3, совпадающей с осями вращения звеньев и H, а вектор общей образующей ОС начальных конусов колес 2 и 3. Проведя из начала о и конца вектора прямые до их взаимного пересечения в точке , получаем треугольник угловых скоростей колеса 3, из которого находим:

Обозначая половины углов раствора начальных конусов конических колес 1 и 3 соответственно через и , имеем (рис. 138, а и б):

откуда окончательно:

Учитывая, что (см. рис. 138, а), придем к найденному ранее результату. На рис. 438, г показаны треугольники угловых скоростей для механизма, изображенного на рис. 138, в.