РАЗДЕЛ III. ДИНАМИКА
ДИНАМИКА ТОЧКИ
Глава 1. ДВЕ ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ТОЧКИ
§ 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
В динамике изучается движение механических систем в связи с действующими на них силами. Простейшим объектом механики является материальная точка — тело, размерами которого при решении данной задачи можно пренебречь.
Если на положение материальной точки и на ее движение не наложены никакие ограничения, то точка называется свободной, в противном случае имеем движение несвободной точки. Условия, которые накладывают определенные ограничения на положения материальной точки и на ее движение, называются связями, наложенными на эту точку. Материальное тело, при помощи которого осуществляется связь, наложенная на данную материальную точку, действует на эту точку с некоторой силой, называемой реакцией этой связи.
Согласно закону равенства действия и противодействия, сила, с которой материальная точка действует на тело, осуществляющее связь, равна по модулю и прямо противоположна по направлению реакции этой связи.
На основании второго и четвертого законов динамики имеем:
где 
— масса материальной точки; 
- ее ускорение и 
- равно действующая всех сил, приложенных к этой точке, включая (в случае несвободной точки) и реакции связей.
В Международной системе единиц масса измеряется в 
граммах, а сила — в ньютонах (н). Обычно массу тела находят как отношение его веса 
, выраженного в ньютонах, к ускорению силы тяжести 
, т. е.
Проектируя векторное равенство (108) на оси той или иной системы координат, получаем дифференциальные уравнения движения материальной точки в этой системе.
В прямоугольной системе декартовых координат имеем:
где х, у, z - координаты точки, а X, Y, Z — проекции действующей силы (равнодействующей) на соответствующие оси. В случае несвободной точки к этим уравнениям присоединяются уравнения связей. Если точка движется прямолинейно, то, принимая эту прямую за ось х, имеем:
В системе естественных осей имеем:
где
- скорость точки;
— радиус кривизны траектории;
- проекции действующей силы соответственно на касательную, главную нормаль и бинормаль траектории.
Уравнения (112) называются эйлеровыми или естественными уравнениями движения материальной точки.
Пользуясь уравнениями (108) и (110), можно решать две основные задачи динамики точки.
