Глава IV. СИСТЕМА СИЛ, РАСПОЛОЖЕННЫХ КАК УГОДНО В ПРОСТРАНСТВЕ

§ 1. МОМЕНТ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ТОЧКИ КАК ВЕКТОР И МОМЕНТ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ОСИ

При изучении системы сил в пространстве момент силы относительно точки О изображается вектором, приложенным в точке О, перпендикулярным к плоскости , в которой лежат сила F и точка О, и направленным так, чтобы наблюдатель, смотрящий с конца этого вектора на плоскость , видел силу F направленной по отношению к точке О против часовой стрелки.

Рис. 59.

Модуль этого момента равен произведению силы F на длину перпендикуляра d, опущенного из точки О на линию действия этой силы (рис. 59).

Рис. 60.

Аналогично в виде вектора изображается и момент пары, а именно: вектор - момент пары перпендикулярен к плоскости этой пары и направлен так, что наблюдатель, смотрящий на пару с конца этого вектора, видел направление вращения, вызываемого парой, против часовой стрелки.

Абсолютное значение момента пары равно произведению модуля одной из сил пары на плечо этой пары (рис. 60). Вектор-момент пары равен вектору-моменту одной из сил пары относительно точки приложения второй силы этой пары.

Кроме момента силы относительно точки, при изучении системы сил в - пространстве приходится рассматривать также и момент силы относительно - той или иной оси.

Моментом силы F относительно данной оси называется алгебраическое значение момента проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную к этой оси, относительно точки пересечения оси с этой плоскостью.

Следовательно, чтобы найти момент силы F относительно оси z, нужно спроектировать силу F на плоскость, перпендикулярную к оси z и проведенную через произвольную точку О, лежащую на этой оси, и затем полученную проекцию умножить на длину h перпендикуляра, опущенного из точки О на линию действия проекции f. При этом произведение берется со знаком плюс или минус (рис. 61).

Таким образом,

Знак момента силы относительно данной оси выбирается следующим образом: если наблюдатель, смотрящий с положительного конца оси, видит проекцию f направленной по отношению к точке О против часовой стрелки, то момент силы F относительно этой оси считается положительным. В противном случае этот момент считается отрицательным. Поэтому на рис. 61 момент силы F относительно оси положителен.

Рис. 61.

Из формулы (28) следует, что момент силы относительно оси равен нулю, если , или , т. е. когда сила параллельна оси либо когда линия действия этой силы пересекает данную ось.

Моменты силы F относительно трех координатные осей х, у и z выражаются следующими формулами:

где X, Y, Z — проекции силы F на координатные оси, а х, у, z — координаты точки приложения силы.

Между моментом силы F относительно данной оси и вектором моментом той же силы относительно какой-нибудь точки, лежащей на этой оси, существует следующая зависимость: проекция вектора-момента силы F относительно произвольной точки О на какую-либо ось, проходящую через эту точку, равна моменту силы F относительно этой оси, т. е.

Пример 33. К вершинам С, В и D куба со стороной а приложены равные по модулю силы и Q, направленные соответственно по стороне BE и по диагоналям DA и DK. Найти моменты каждой из этих сил относительно координатных осей х, у и z (рис. 62).

Рис. 62.

Решение. Первый способ (геометрический). При вычислении моментов нескольких сил относительно координатных осей следует сначала выделить те силы, которые пересекают одну из координатных осей или ей параллельны, так как в этих с момент силы относительно оси равен нулю. Сила Р параллельна оси , а сила S пересекает ось z, а потому . Далее следует выделить те силы, которые расположены в плоскости, перпендикулярной к одной из координатных осей;

В этом случае момент силы относительно такой оси по абсолютной величине равен моменту силы относительно точки пересечения этой оси с перпендикулярной к ней плоскостью, в которой расположена эта сила.

Сила Q лежит в плоскости перпендикулярной к оси , причем — точка пересечения оси х с этой плоскостью. Так как , то плечо силы Q относительно точки А, равно . Следовательно, . Для наблюдателя, смотрящего с положительного конца оси х на плоскость , сила Q стремится вращать куб вокруг оси х против часовой стрелки, поэтому момент силы Q относительно оси х положителен, и, следовательно, .

Аналогично вычисляются моменты силы Р относительно осей у и z, так как сила Р расположена в плоскости EBCD, перпендикулярной к оси у, и в плоскости перпендикулярной к оси z:

Теперь переходим вычислению моментов силы Q относительно осей у и z и моментов силы S относительно осей х и у.

Чтобы вычислить момент силы Q относительно оси у, следует сначала эту силу спроектировать на координатную плоскость . Для этого следует из начала D и конца D, силы Q провести прямые, параллельные оси у, до пересечения с плоскостью в точках . Тогда вектор является проекцией силы Q на плоскость . Плечо этой проекции относительно точки О равно . Для наблюдателя, смотрящего с положительного конца оси у на плоскость , сила стремится вращать куб вокруг оси у по часовой стрелке, поэтому момент силы Q относительно оси у отрицателен, и, следовательно,

Но

а потому

Для вычисления момента силы Q относительно оси z спроектируем эту силу на плоскость , для этого из конца силы Q проведем прямую параллельную оси z, до пересечения с плоскостью в точке d.

Тогда вектор является проекцией силы Q на плоскость . Плечо силы относительно точки О равно . Так как момент силы Q относительно оси z отрицателен, то

Но

а потому

Чтобы вычислить моменты силы относительно осей х и у, находим проекции этой силы на координатные плоскости . Так как грани куба являются квадратами, то , а потому

Далее

из прямоугольного треугольника DAC находим

Следовательно,

Второй способ (аналитический). Под аналитическим способом определения моментов силы относительно координатных осей понимается вычисление этих моментов по формуле (29). При этом нужно предварительно найти (если они не заданы) координаты точки приложения силы и ее проекции на оси координат. Принимая во внимание, что сила параллельна оси х, сила Q перпендикулярна к этой оси и составляет с осями у и 2 углы 45°, получим:

Обозначим угол через . Тогда . Чтобы вычислить проекции силы S на оси х и у, спроектируем эту силу на плоскость , а затем полученную проекцию , направленную по прямой DO, спроектируем на оси х и у. Тогда имеем:

или .

Из прямоугольного треугольника находим:

Значения координат точек приложения заданных сил, которые находим непосредственно из чертежа, и значения моментов этих сил, вычисляемые по формулам (29), указаны в табл. 6 и 7.

Таблица 6

Таблица 7

Таким образом, момент силы относительно координатной оси можно вычислить двумя способами:

1) аналитическим способом, пользуясь формулами (29), выражающими искомый момент силы через проекции этой силы на координатные оси и через координаты точки ее приложения;

2) геометрическим способом.

При геометрическом способе определения момента силы относительно координатной оси следует различать три случая:

1) сила лежит в координатной плоскости, перпендикулярной к координатной оси, относительно которой вычисляется момент, тогда момент силы относительно этой оси равен по модулю ее моменту относительно начала координат;

2) через линию действия силы можно провести плоскость, перпендикулярную к одной из координатных осей, тогда момент силы относительно такой оси равен по модулю моменту силы относительно точки пересечения этой плоскости с данной координатной осью;

3) если сила не лежит в плоскости, перпендикулярной к данной координатной оси, то следует эту силу спроектировать на координатную плоскость, перпендикулярную к данной оси, и вычислить момент полученной проекции относительно начала координат.