§ 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТЕЙ И УСКОРЕНИЙ ТОЧЕК ТВЕРДОГО ТЕЛА, ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ

(задачи 386—394)

Если твердое тело вращается вокруг неподвижной оси, то любая его точка, не лежащая на оси вращения, описывает окружность, плоскость которой перпендикулярна к этой оси, а скорость и ускорение точки определяются по формулам:

где R — расстояние движущейся точки от оси вращения.

Векторы скорости v и касательного ускорения направлены по касательной к окружности, описываемой данной точкой тела, а вектор нормального ускорения направлен по радиусу этой окружности к ее центру.

Если вращение тела ускоренное, то векторы v и направлены в одну и ту же сторону; в случае же замедленного вращения — в противоположные стороны.

Если тело вращается равномерно, то , следовательно, в этом случае и

т. е. вектор ускорения совпадает в этом случае с нормальным (центростремительным) ускорением.

Пример 67. Колесо радиуса вращается равномерно вокруг своей оси, делая один оборот за 0,25 сек. Найти скорость и ускорение точки, лежащей на ободе колеса.

Решение. Так как колесо вращается равномерно, то согласно формуле (70)

Но за время сек угол поворота колеса равен

поэтому

Далее по формуле (72) будем иметь:

Пример 68. Вал начинает вращаться с угловой скоростью

равноускоренно и за 10 сек делает 30 оборотов. Найти ускорение точки, отстоящей от оси вращения вала на расстоянии, равном , в тот момент, когда скорость этой точки равна .

Решение. Для определения углового ускорения вала воспользуемся формулами (71), считая :

Но при сек угол поворота равен рад, а потому

откуда

Далее по формулам (72) находим:

В тот момент, когда , имеем:

Пример 69. Вал вращается в подшипниках вокруг неподвижной горизонтальном оси по закону , где угол поворота вала в радианах. Определить скорость и ускорение точки М вала, отстоящей от оси вращения на расстоянии в тот момент, когда угловая скорость вала достигает наибольшего абсолютного значения.

Решение. Найдем сначала угловую скорость и угловое ускорение вала по формулам (68):

Теперь по формулам (72) получим:

Угловая скорость достигает наибольшего абсолютного значения в момент , когда , отсюда , т. е. , где следовательно, , сек. В эти моменты имеем: