Четвертая группа
Задачи, в которых рассматривается движение материальной точки под действием некоторой заданной силы (постоянной или переменной) в сопротивляющейся среде, причем сила сопротивления среды зависит от скорости материальной точки.
Пример 111. Точка М массой 
кг движется под действием силы, которая притягивает ее к неподвижному центру О и пропорциональна расстоянию точки от этого центра, причем коэффициент пропорциональности 
.
Движение происходит в среде, сопротивление которой пропорционально первой степени скорости, причем коэффициент пропорциональности 
.
Начальные условия: 
. Найти кинематические уравнения движения точки (рис. 146).
Рис. 146.
Решение. Обозначим F силу, притягивающую точку М к центру 
и F силу сопротивления среды, направленную противоположно скорости v точки М. Тогда
Обозначая 
углы, соответственно образуемые радиусом-вектором 
точки М и вектором v скорости этой точки с осью 
, составляем дифференциальные уравнения движения точки в декартовых координатах:
Или после подстановки числовых значений
Дальнейшее решение задачи зависит от характера полученных дифференциальных уравнений. В данном случае получены независимые друг от друга линейные дифференциальные уравнения второго порядка, и для решения их можем воспользоваться теорией интегрирования таких уравнений, известной из курса математики. Составляем характеристическое уравнение, соответствующее первому уравнению:
отсюда
Следовательно, общее решение данного дифференциального уравнения выразится так:
Совершенно аналогично для второго дифференциального уравнения получаем:
Отсюда
Подставляя начальные данные в найденные для 
, х и у выражения
имеем:
Отсюда
Таким образом, окончательно получаем следующие кинематические уравнения движения точки;
