Глава II. КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

Задачи, относящиеся к этой главе, можно разделить на следующие основные типы:

I. Гармонические свободные колебания.

II. Затухающие колебания.

III. Вынужденные колебания: а) при наличии сопротивления (задачи 853, 855, 858, 859, 860); б) при отсутствии сопротивления (задачи 854, 857, 861).

§ 1. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ (задачи 825—842)

Пусть материальная точка М массы движется прямолинейно под действием силы F, притягивающей ее к неподвижному центру О и пропорциональной расстоянию движущейся точки от центра О. Следовательно,

где с — постоянный коэффициент пропорциональности.

Рис. 152.

Силу F назовем восстанавливающей силой. Если выбрать за ось прямолинейную траекторию точки М, поместив начало координат в точке О, то (рис. 152) дифференциальное уравнение движения точки М запишется так:

где — абсцисса точки, или .

Обозначив через кг, получим:

это — линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка. Так как корни характеристического уравнения являются мнимыми, то общий интеграл этого дифференциального уравнения имеет следующий вид:

где А и В — произвольные постоянные, которые определяются по начальным условиям движения.

Если при , то и следовательно,

Общий интеграл уравнения (125) можно представить и так:

где — постоянные, определяемые по начальным условиям движения при помощи следующих формул:

Уравнение (128) есть уравнение гармонических колебаний с круговой (циклической) частотой .

Период этих колебаний Т определяется по формуле

Пример 116. Груз весом подвешен на пружине, которая в естественном состоянии имеет длину .

Статическое удлинение пружины под действием этого груза равно 4 см. Груз приведен в положение и отпущен без начальной скорости.

Определить период колебаний груза и наибольшую силу натяжения пружины, если см (рис. 153).

Рис. 153.

Решение. Ось направим по вертикали вниз, а начало координат О выберем в положении равновесия груза, т. е. в том положении, где вес груза и реакция пружины уравновешиваются.

Статическое удлинение пружины, соответствующее положению равновесия груза, обозначим , а удлинение пружины, соответствующее положению М груза, обозначим . Тогда

Так как реакция пружины пропорциональна ее удлинению, то

где с — постоянный коэффициент пропорциональности, называемый жесткостью пружины.

В положении равновесия модуль силы F равен весу груза; поэтому

откуда

Дифференциальное уравнение движения груза имеет следующий вид:

Но , поэтому , или

Мы получили дифференциальное уравнение (125) гармонических свободных колебаний.

Отсюда следует, что груз, подвешенный на пружине, будет совершать гармонические колебания около начала координат, т. е. около равновесного положения. Период этих колебаний найдем по формуле (130):

но , поэтому

Амплитуду колебаний определяем по формуле (129):

По условию задачи см и , поэтому см. Следовательно,

и

Пример 117. К свободному концу А упругой горизонтальной балки, другой конец которой закреплен неподвижно, подвешен на пружине груз весом . Упругая сила балки пропорциональна стреле прогиба , а сила натяжения пружины пропорциональна ее удлинению , причем жесткость балки равна , а жесткость пружины равна . Определить период колебаний груза, пренебрегая массами балки и пружины (рис. 154).

Решение. Как и в предыдущей задаче, ось направим по вертикали вниз, а начало координат О выберем в положении равновесия груза.

Если статический прогиб балки, т. е. ее прогиб при равновесии груза, обозначим , естественную длину пружины обозначим , а ее статическое удлинение то (рис. 154)

Рис. 154.

Прогиб балки в некоторый момент t, когда груз занимает положение М, обозначим f. Длина пружины в этот момент, как видно из рис. 154, б, равна

Следовательно, удлинение пружины

К грузу М приложены две силы: вес и реакция пружины F, причем . Если пренебречь массой пружины, то силы натяжения пружины на ее концах будут равны; следовательно,к концу А балки приложена сила, равная . С другой стороны, если пренебречь массой балки, то приложенная к ней в точке А реакция пружины будет , а потому .

Отсюда и, следовательно,

или

В положении равновесия груза имеем:

откуда

поэтому

отсюда

Дифференциальное уравнение движения груза по оси имеет вид:

Подставляя значение X, получим:

или

т. е. получаем дифференциальное уравнение (125) гармонических колебаний с частотой .

Отсюда следует, что искомый период колебаний груза

или