§ 3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ ТОЧКИ ПРИ ЕСТЕСТВЕННОМ СПОСОБЕ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ

(задачи 323, 324, 336—349)

Если заданы траектория движущейся точки и закон ее движения по этой траектории , то вектор скорости направлен по касательной к траектории, а его проекция на направление касательной определяется по формуле

причем абсолютное значение этой проекции равно модулю скорости, т. е.

Вектор ускорения определяется по его проекциям на естественные оси (касательную, главную нормаль и бинормаль):

где — радиус кривизны траектории в данной точке.

Следовательно

Если плоская траектория задана уравнением , то радиус кривизны траектории вычисляется по формуле

где .

Рассмотрим частные случаи:

1. Если точка движется прямолинейно и неравномерно, то радиус кривизны траектории и, следовательно, .

В этом случае ускорение w направлено по прямолинейной траектории точки и по модулю равно

2. Если точка движется по кривой равномерно, то

а потому ускорение w направлено по нормали к траектории и по модулю равно

3. Если точка движется прямолинейно и равномерно, то

Пример 58, Вагонетка движется равномерно по закруглению радиусом , причем ускорение ее центра тяжести равно . Найти скорость центра тяжести вагонетки.

Решение. Так как центр тяжести вагонетки перемещается по окружности равномерно, то его ускорение w направлено по радиусу этой окружности к центру и согласно формуле (59) по модулю равно

Но радиус кривизны окружности равен ее радиусу, а потому

откуда

и

Пример 59. Точка движется с постоянным тангенциальным ускорением а по окружности радиуса R без начальной скорости. Через сколько секунд после начала движения касательное и нормальное ускорения станут численно равны между собой?

Решение. Для решения задачи воспользуемся формулами:

Интегрируя уравнение , имеем:

отсюда, принимая во внимание, что , находим и, следовательно,

В искомый момент времени касательное и нормальное ускорения равны между собой, а потому

откуда

Пример 60. Точка движется по окружности; в некоторый момент ее скорость равна v, а ускорение направлено по хорде . Зная , найти ускорение точки в этот момент (рис. 93).

Решение. Пусть на векторы МА и MB обозначают соответственно ускорения и . Тогда из подобия прямоугольных треугольников МАВ и MLN имеем:

отсюда

Рис. 93.

Пример 61. Машина идет по выпуклому мосту А В. Ее центр тяжести М описывает при этом параболу , а расстояние , отсчитываемое от точки А вдоль дуги параболы, изменяется по закону (х, у и s выражены в метрах, ). Определить скорость и ускорение центра тяжести машины в тот момент, когда он находится в вершине параболы, если в этот момент скорость машины достигает минимума (рис. 94).

Рис. 94.

Решение. Так как траектория и закон движения точки М по ее траектории заданы, то для решения задачи воспользуемся формулами (58), (59) и (60). Тогда имеем:

Радиус кривизны траектории определим по формуле

Следовательно,

Но в вершине параболы координата точки М равна нулю, поэтому .

Остается определить, в какой момент времени машина достигает вершины параболы; так как скорость ее в этот момент достигает минимума, то , откуда . Следовательно, .

Так как в вершине параболы касательное ускорение равно нулю, то .