§ 8. Вычисление главных напряжений и наибольших касательных напряжений

Мы видели, как упрощаются формулы для напряжений в том случае, когда координатные оси совпадают с главными. Для определения направления главных осей и величины главных напряжений воспользуемся тем обстоятельством, что главные напряжения перпендикулярны к площадкам, по которым они действуют. Пусть площадка с нормалью соответствует одному из главных напряжений. Тогда проекции полного напряжения действующего по этой площадке (направление совпадает с так как напряжение предполагается главным), на координатные оси х, у, z будут

Подставив эти выражения в уравнения (5) и перенеся все члены в одну сторону, получим

Эти уравнения для косинусов определяющих направление главного напряжения, дают решение, отличное от нуля, лишь в том случае, если соответствующий определитель обращается в нуль. Составляя этот определитель и приравнивая его нулю, получаем уравнение третьей степени относительно

Три его корня определяют значения трех главных напряжений. Подставляя каждый из этих корней в уравнение (а), находим соответствующие направления этих напряжений. Заметим, что уравнение (13) не должно зависеть от направления координатных осей и потому коэффициенты, заключенные в скобки, должны сохранять постоянное значение при преобразовании координат.

Перейдем теперь к определению наибольших касательных напряжений. Если для какой-либо площадки с нормалью известны полное напряжение и его нормальная составляющая то легко найти касательную составляющую для той же площадки. Квадрат касательного напряжения определяется из уравнения Для определения составляющих напряжения мы на основании (9) и (10) перепишем это уравнение в таком виде:

где главные напряжения в рассматриваемой точке.

Дальнейшая задача заключается в том, чтобы найти значения которым соответствуют наибольшие значения касательных напряжений. Для этого выразим один из косинусов, например через при помощи условия

и полученный результат введем в выражение (b) для квадрата касательного напряжения. Составляя производные от полученного выражения по и приравнивая их нулю, после простых преобразований получаем уравнения для определения

Очевидно, мы удовлетворим этим уравнениям, положив Так же легко могут быть найдены и другие корни. Положив найдем из второго уравнения При получим Для получения всех направлений, соответствующих максимуму или минимуму касательного напряжения, нужно из выражения (b) с помощью условия (с) исключить и I и повторить те выкладки, которые были проделаны для случая исключения

косинуса Таким путем мы получим таблицу косинусов, которым соответствуют площадки с максимальными или минимальными касательными напряжениями:

(см. скан)

Первые три строки этой таблицы, где два направляющих косинуса обращаются в нуль, определяют площадки, соответствующие главным напряжениям. По этим площадкам касательные напряжения обращаются, как мы видели, в нуль. Три последние строки определяют площадки, проходящие через одну из главных осей и делящие пополам угол между двумя другими осями. Подставив соответствующие значения в выражение (b), найдем значение для максимальных касательных напряжений в случае т. е. для площадки, проходящей через ось х и делящей пополам угол между Подобным образом для двух других площадок получим соответственно значения На основании этих результатов заключаем, что наибольшее касательное напряжение равно полуразности между наибольшим и наименьшим главными напряжениями (при этом принимается во внимание знак напряжения) и действует по площадке, проходящей через среднее по величине главное напряжение и делящей пополам угол между наибольшим и наименьшим напряжениями.