§ 63. О напряжениях в стенках сферического сосуда при равномерном наружном и внутреннем давлении

Комбинируя решения вида (125), относящиеся к случаю действия на неограниченную упругую среду сосредоточенной силы, мы можем получить ряд новых решений, имеющих большое практическое значение. Начнем с определения напряжений, возникающих в упругой среде при действии двух равных взаимно противоположных сил действующих по оси z (рис. 89). Расстояние между точками приложения этих сил будем считать малым и обозначим его через А. Сила приложенная в начале координат, вызывает напряжения, определяемые формулами (125). При помощи тех же формул можно найти также напряжения, вызываемые второй силой приложенной в точке А. Так как эта вторая сила имеет противоположное направление, то в формулах (125) необходимо изменить знак напряжений. Кроме того, нужно принять во внимание перемещение точки приложения силы и изменить соответственно значение координаты z, давая ей приращение В таком случае при одновременном действии сил напряжения определятся формулами:

Найдем, каковы будут в рассматриваемом случае нормальные напряжения по поверхности сферы, имеющей своим центром начало координат. На основании формулы (6) получаем для этих напряжений значение

Вставляя вместо напряжений их значения (128) и принимая во внимание, что находим после простых преобразований

Рис. 89.

Представим себе, что кроме сил действующих по оси z, имеются совершенно такие же и так же расположенные силы на оси z и на оси, перпендикулярной к плоскости и проходящей через начало координат.

Мы будем иметь в начале координат три пары прямо противоположных и равных сил, действующих по трем взаимно перпендикулярным направлениям. Так как напряжения, вызываемые каждыми двумя такими силами, распределяются симметрично относительно линии действия сил, то при наличии одинаковых сил в трех взаимно перпендикулярных направлениях мы, очевидно, получим распределение напряжений, симметричное относительно начала координат. Напряжения будут зависеть лишь от расстояний до этой точки. По поверхности сферы, имеющей своим центром начало координат, в силу симметрии будут действовать лишь равномерно распределенные нормальные напряжения. Величина этих напряжений легко может быть найдена при помощи формулы (129).

Рис. 90.

Чтобы получить нормальные напряжения, вызываемые на поверхности сферы по площадкам, перпендикулярным к плоскости силами, действующими по оси нужно только в формуле (129) поставить вместо величину Полагая в той же формуле равным находим нормальные напряжения, соответствующие силам, перпендикулярным к плоскости Суммируя полученные таким путем значения нормальных напряжений, получаем в результате равномерное распределение нормальных напряжений по поверхности сферы, имеющей своим центром начало координат. Значение этих напряжений будет следующее:

где радиус сферы.

Пользуясь этим результатом, легко решить задачу о распределении напряжений в стенке сферического сосуда, подвергающегося действию равномерного наружного и внутреннего давлений. Пусть обозначают радиусы наружной и внутренней поверхностей сосуда (рис. 90), а соответствующие

нормальные давления. Наложим на решение (130) равномерное растяжение и в полученном таким путем общем решении

подберем произвольные постоянные так, чтобы были удовлетворены условия на наружной и внутренней поверхности. Получаем уравнения откуда

Решение (а) представится в таком виде:

Кроме этих напряжений в стенке сосуда появятся нормальные напряжения по площадкам, совпадающим с меридиональными плоскостями. Величина этих напряжений проще всего найдется из условия равновесия элемента (рис. 90), выделенного из стенки посредством сферических поверхностей радиусов и кругового конуса с бесконечно малым углом при вершине. Проектируя все приложенные к поверхности элементы силы на радиальное направление, получаем уравнение

откуда или, вставляя вместо его значение (131), получаем

Полученные формулы (131) и (132) вполне решают вопрос о напряжениях в стенке сферического сосуда, подвергающегося действию равномерного внутреннего и наружного давлений.