§ 30. Обобщенное плоское напряженное состояние

Выше были выяснены те упрощения, которые получаются в общей задаче теории упругости в случае, когда тело имеет форму весьма длинного цилиндра. Оказывается, что такие же упрощения при некоторых допущениях 1 могут быть получены и в другом крайнем случае, когда тело цилиндрической формы имеет весьма малую длину, т. е. представляет собой тонкую пластинку (диск), ограниченную заданным контуром.

Толщину пластинки, соответствующую весьма малой длине цилиндра, обозначим через Плоскость ху расположим перпендикулярно к образующим цилиндра таким образом, чтобы она делила длину цилиндра (толщину пластинки) пополам, тогда основания цилиндра, соответствующие поверхностям пластинки, определятся уравнением Расположенную таким образом плоскость ху будем называть срединной плоскостью пластинки.

Рассмотрим случай, когда объемные силы постоянны и нормальны к образующим цилиндра поверхности пластинки свободны от усилий при и поверхностные усилия, приложенные по контуру пластинки, действуют в срединной плоскости При этих условиях срединная плоскость не искривляется, пластинка не претерпевает изгиба и при малой толщине составляющие напряжения наверное, весьма мало изменяются при изменении координаты z. В таком случае средние по толщине значения составляющих напряжения в достаточной степени характеризуют напряженное состояние и определение этих средних значений имеет большое практическое значение.

Сохраняя для средних значений составляющих напряжения прежние обозначения и отмечая их лишь чертой вверху, будем иметь

Связь между этими средними значениями напряжений получим из дифференциальных уравнений равновесия

Умножая эти уравнения на и интегрируя их в пределах от до получаем

В случае действия силы тяжести, имеющей направление оси у, уравнения эти примут вид

Уравнения, связывающие средние значения напряжений, полностью совпадают с уравнениями (52) и (53), полученными в случае плоской деформации. Средние значения составляющих напряжения можно выразить через производные функции напряжений при помощи формул (54). Легко показать, что и в этом случае функция должна удовлетворять уравнению (55), если предположить, что составляющая напряжения обращающаяся в нуль на поверхностях равна нулю по всей толщине пластинки. При малых толщинах пластинки такое допущение, очевидно, будет весьма близко к действительности, так как при сделанных предположениях относительно внешних сил не будет никаких причин, которые могли бы вызвать значительные напряжения

Полагая получаем для средних значений составляющих деформации выражения

Выражая составляющие напряжений при помощи формул (54) через и подставляя полученные таким образом средние значения

составляющих деформации в уравнение

приходим к уравнению (55).

Тот же результат мы, конечно, получили бы и в том случае, если бы вместо уравнения (а) взяли соответствующее ему уравнение

связывающее составляющие напряжений [см. (40)], и подставили в него средние значения этих составляющих.

Принимая во внимание, что и показывая на основании (46), что

приходим к уравнению (55).

Таким образом, определение напряжений в случае плоской деформации и в только что рассмотренном случае, который мы назовем обобщенным плоским напряженным состоянием, сводится к решению одного и того же дифференциального уравнения (55). Что же касается деформаций, то они в этих двух случаях будут различны. В самом деле, в случае обобщенного плоского напряженного состояния мы положили следовательно,

откуда

Для объемного расширения получаем формулу

Составляющие напряжений выразятся через перемещения при помощи формул

Сравнивая этот результат с формулами (b) § 29, заключаем, что перемещения в случае обобщенного плоского напряженного состояния могут быть получены по тем же формулам, что и в случае плоской деформации, нужно только коэффициент заменить величиной

Вопросу об интегрировании уравнения (55), к которому сводится решение плоской задачи теории упругости, посвящен целый ряд работ Выяснено, что

уравнение это вполне определяет функцию если на контуре заданы значения и ее производной по нормали В задачах теории упругости обыкновенно задаются силы, приложенные по контуру, а в таком случае граничные значения и могут быть найдены из условий на поверхности

Подставляя вместо составляющих напряжения их выражения через и принимая во внимание, что при принятом расположении координат (рис. 13) и указанном стрелкой направлении отсчета дуги

при отсутствии объемных сил из условий (b) получаем

Рис. 13.

Следовательно,

где произвольные постоянные.

Значение производной по нормали на контуре пластинки получим из формулы

Для этого нужно вместо и подставить наиденные выше выражения (с). Значение функции на контуре на основании выражений (с) представится в таком виде:

В это выражение входят постоянные

В случае простого (односвязного) контура можно, не нарушая общности результата положить эти постоянные равными нулю, так как прибавление к функции напряжений линейной функции х и у не оказывает никакого влияния на величину напряжений, выражающихся через вторые производные от При сложных (многосвязных) контурах, например в случае плоского кольца, постоянные на каждом контуре имеют свое значение, и их приходится

определять из условий однозначности перемещений. В первом случае распределение напряжений вполне определяется уравнением (55) и усилиями, приложенными по контуру. Выражения для составляющих напряжения не будут заключать в себе упругих постоянных и распределение напряжений не будет зависеть (в случае изотропного тела) от упругих свойств материала. Во втором случае приходится принимать во внимание выражения для перемещений, и напряжения представятся формулами, содержащими упругие постоянные материала Распределение напряжений будет изменяться в зависимости от упругих свойств материала.