§ 18. Модули упругости

В технической литературе вместо коэффициентов Ламе часто пользуются другими упругими постоянными для установления связи между напряжениями и деформациями. Упругие постоянные выбирают на основе опыта. Обыкновенно на опыте осуществляют простейшие виды напряженного состояния, и те коэффициенты пропорциональности, которые связывают взятый тип напряженного состояния с соответствующим типом деформации, принимают за упругую постоянную. Такие постоянные называют модулями упругости. Соответственно выбранному типу напряженного состояния различают: 1) модуль упругости при растяжении, 2) модуль упругости при сдвиге и 3) модуль упругости при всестороннем сжатии. Без всяких затруднений может быть установлена зависимость между различно выбранными упругими постоянными. Модули упругости цросто выражаются через коэффициенты Ламе и наоборот.

Начнем со случая линейного напряженного состояния, соответствующего растяжению или сжатию призматических стержней. Опыты могут быть осуществлены особенно просто, поэтому соответствующий модуль упругости, называемый модулем Юнга дают обыкновенно в технической литературе как величину, характеризующую упругие свойства материала. Предположим, что линейное напряженное состояние состоит в растяжении по оси х. Тогда зависимости (28) между напряжениями и деформациями примут вид

Модуль упругости при растяжении — это коэффициент пропорциональности, связывающий взятое нами напряжение с соответствующей деформацией Для получения этой зависимости из уравнений (а) сложим эти уравнения и найдем таким путем выражение для объемного расширения:

Подставив найденное значение в первое из уравнений (а), получим

Множитель при обозначенный буквой представляет искомое выражение для модуля Юнга.

Из уравнений (а) легко может быть найдена и другая постоянная, которой часто пользуются для характеристики упругих свойств изотропного материала, именно отношение поперечного сжатия к продольному удлинению при простом растяжении. Эта постоянная носит название коэффициента Пуассона 2. В дальнейшем мы будем обозначать ее буквой . Второе из уравнений (а) дает

Сравнивая полученное значение поперечного сжатия с найденным выше продольным удлинением получаем

Модулем упругости при сдвиге называют коэффициент пропорциональности, связывающий одну из составляющих касательного напряжения с соответствующем сдвигом. Величину этого модуля будем обозначать буквой Из уравнений (28) следует

В случае всестороннего сжатия модулем упругости будет коэффициент пропорциональности, связывающий величину сжимающего напряжения с

относительным изменением объема . При таком напряженном состоянии следовательно, Из уравнений (28) получаем

где k — величина модуля упругости при всестороннем сжатии.

Пользуясь формулами (30) — (33), легко получить такие соотношения?

Зависимости между напряжениями и деформациями (28) при использовании модулей упругости представятся в таком виде;

Деформации выражаются через напряжения следующим образом

При использовании модулей упругости выражение для потенциальной энергии (29) можно представить так: