§ 53. Изгиб круглой пластинки

Некоторые решения для круглой пластинки мы могли получить выше, рассматривая ее как частный случай пластинки с эллиптическим контуром. Но задача об изгибе круглой пластинки мозкет быть разрешена в гораздо более общем случае При разыскании этого решения выгодно, конечно, пользоваться полярными координатами. Располагая начало координат в центре пластинки и определяя положение какой-либо точки величиной радиуса-вектора и углом , составляемым этим радиусом с осью х, будем иметь Введя вместо х и у новые переменные и , получим

Общее уравнение (206) для изогнутой пластинки напишется так:

или, выполняя дифференцирование,

А. Клебш дал общее решение этого уравнения и применил его к случаю действия на пластинку одной сосредоточенной силы. Имея решение для сосредоточенной силы, мы путем наложения найдем изгиб пластинки любой системой сил, перпендикулярных к пластинке.

Ограничимся здесь простейшим случаем, когда нагрузка, изгибающая пластинку, распределена симметрично относительно центра. При этом условии срединная поверхность изогнутой пластинки будет поверхностью вращения и величина прогиба будет зависеть лишь от расстояния рассматриваемой точки до центра пластинки. В таком случае в уравнении (218) пропадут члены, заключающие производные по 9, и мы получим

Общий интеграл соответствующего уравнения без последнего члена напишется так Присоединяя к нему частное решение уравнения получаем общее выражение для Особенно просто решается задача в тех случаях, когда интенсивность нагрузки представляется целой алгебраической функцией от

Возьмем, например, равномерно распределенную нагрузку. В этом случае постоянно и частное решение уравнения (218) напишется так:

Произвольные постоянные в общем интеграле

нужно определить из условий на контуре и в центре пластинки (мы предполагаем пластинку сплошной). Чтобы прогиб пластинки и кривизна в центре (при получались конечными, нужно положить в общем интеграле

Условия на контуре напишутся различно в зависимости от способа закрепления. Для заделанного края будем иметь

В случае опертого края нужно составить выражение для изгибающих моментов по контуру и приравнять это выражение нулю. Совмещая ось х с направлением и принимая во внимание, что в этом случае для симметричного изгиба имеют место равенства

найдем для изгибающих моментов, действующих по краю пластинки, выражение

Условия для опертого края напишутся так:

Определяя произвольные постоянные на основании условий (а), получаем для пластинки с заделанным краем

Подобным же образом для пластинки с опертым краем найдем

Имея уравнение изогнутой поверхности, легко найти значения изгибающих и скручивающего моментов, а также соответствующие им напряжения. Мы приняли ось х совпадающей с направлением В таком случае

Подставив сюда вместо выражение (219), найдем

На контуре пластинки будем иметь

В центре

Наибольшие напряжения получаются у заделанного края, где

В случае пластинки с опертым краем получим

Наибольшие напряжения имеют место в центре пластинки, где

Сравним полученные здесь результаты приближенной теории пластинок с точными решениями. Для пластинки с опертым краем точное решение дает (см. стр. 161)

Мы видим, что в тех случаях, когда толщина пластинки мала по сравнению с радиусом а, поправки, которые получаются путем точного решения, весьма малы (порядка и мы можем при расчетах ими пренебрегать. Такие же заключения относительно точности приближенного решения можно получить и для пластинки с заделанными краями.

Путем элементарных соображений, аналогичных тем, которыми пользуются при оценке влияния касательных сил на прогиб балок, можно показать, что главная часть поправки к приближенному выражению для прогиба пластинки (220) соответствует действию касательных напряжений

В заключение приводим окончательные результаты, получаемые из уравнения (218) для нескольких частных видов нагрузки.

1. Для пластинки с опертым краем, нагруженной в центре сосредоточенной силой

2. При той же нагрузке, но для пластинки с заделанным краем

3. Для пластинки с опертым краем, несущей нагрузку равномерно распределенную по кругу радиуса выражение для имеет различные формы в зависимости от того, будет ли больше или меньше

4. При той же нагрузке, но для пластинки с заделанным краем будем иметь

Задача об изгибе круглой пластинки, лежащей на сплошном упругом основании, разрешена Герцем.

Если через к обозначим коэффициент, на который нужно множить прогиб чтобы получить интенсивность реакции основания в рассматриваемой точке и, кроме того, введем обозначение то для максимального прогиба пластинки бесконечно большого радиуса под действием приложенной в центре силы получим выражение Пластинка при этом подразделится на ряд волн, идущих по концентрическим кругам и постепенно затухающих по мере удаления от точки приложения силы. Мы получаем, таким образом, явление, аналогичное тому, которое имеет место при изгибе бесконечно длинной балки, лежащей на упругом основании и нагруженной сосредоточенной силой.