§ 65. Об устойчивости сжатой прямоугольной пластинки с двумя опертыми краями и двумя другими, закрепленными любым способом

Предположим, что прямоугольная пластинка, опертая по сторонам (рис. 122), сжимается вдоль оси х равномерно распределенными усилиями Пусть эти усилия достигли предела, когда плоская форма равновесия пластинки перестала быть устойчивой.

Пластинка искривляется по поверхности, определяемой таким уравнением (см. § 58):

Частное решение этого уравнения возьмем в такой форме:

где функция у.

Подставляя его в (а), получаем для определения такое линейное уравнение с постоянными коэффициентами:

Принимая во внимание, что благодаря закреплениям по продольным сторонам мы всегда будем иметь

и пользуясь обозначениями

представляем общий интеграл уравнения (с) в таком виде:

Рис. 122.

Произвольные постоянные должны быть выбраны так, чтобы удовлетворялись условия на продольных сторонах пластинки. Из этих условий может быть найдено также значение для различных частных случаев закрепления. Приведем здесь несколько примеров. Одна из продольных сторон пластинки оперта, другая свободна. В этом случае будем иметь на продольных сторонах такие условия:

Из условий (e) следует, что в общем интеграле (d) нужно положить Следовательно, функция в данном случае может быть представлена так:

и условия (f) на свободной стороне напишутся таким образом:

Этим уравнениям можно удовлетворить, положив но этому будет соответствовать плоская форма равновесия пластинки. Отличными от нуля могут быть постоянные лишь в том случае, если определитель уравнений обращается в нуль, т. е. если будет удовлетворено уравнение

Пользуясь этим уравнением, мы для заданного соотношения между сторонами пластинки и при заданных значениях можем найти соответствующее критическое напряжение. Вычисления показывают, что наименьшие значения сжимающего усилия получаются при Следовательно, при выбранном способе закрепления даже длинная пластинка будет искривляться при выпучивании по одной полуволне. Разыскание корней трансцендентного уравнения (h) можно значительно упростить, если воспользоваться приближенным решением

где

которое выводится на основании элементарных соображений. При это решение дает достаточную для приложений точность. При погрешности меньше 0,2%.

Таблица 33 (см. скан)

Выражение для критических напряжений может быть представлено так: Значения полученные из уравнения (h) (для приводим в табл. 33. Здесь же даны и критические напряжения, вычисленные для Мы видим, что даже при сравнительно малом значении отношения пластинка с одним свободным краем будет мало устойчива.

II. Одна из продольных сторон пластинки заделана, другая свободна. В этом случае условия на продольных сторонах пластинки напишутся так:

Из первых двух условий следует, что произвольные постоянные общего интеграла (d) связаны между собой таким образом:

Функция может быть представлена в таком виде:

Подставляя это выражение в условия (1) на свободном крае пластинки, получаем два линейных однородных уравнения, связывающих между собой Приравнивая нулю определитель этих уравнений, получаем уравнепие для определения

Введя для упрощения обозначения

представим это трансцендентное уравнение в таком виде:

Задаваясь различными значениями отношения и величиной а, мы можем при помощи этого уравнения разыскать соответствующие значения коэффициента к в формуле

Вычисления показывают, что в случае коротких пластинок первая искривленная форма равновесия пластинки имеет одну полуволну, так как при уравнение дает в этом случае наименьшее значение для k.

Таблица 34 (см. скан)

Ряд значений вычисленных на основании уравнения при и приводим в табл. 34. В этой же таблице мы приводим значения вычисленные при Мы видим, что с возрастанием отношения величина коэффициента к сначала убывает. Она достигает своего наименьшего значения при после чего начинается возрастание k. Изменение к в зависимости от отношения сторон представлено на рис. 123 кривой Имея эту кривую, легко построить кривые Пользуясь ими, легко устанавливаем при заданном отношении то число полуволн, на которое пластинка подразделяется при выпучивании. С увеличением длины пластинки коэффициент к все меньше будет отклоняться от своего минимального значения.

Рис. 123.

В условиях, подобных только что рассмотренным, находится сжатый вертикальный лист мостового пояса таврового сечения (рис. 124). При большой длине листа мы можем положить к В таком случае на основании табл. 34 находим

Увеличить устойчивость листа можно было бы только путем наклеивания по нижнему краю листа особого уголка жесткости.

III. Одна из продольных сторон упруго заделана другая свободна. Мы рассмотрели два предельных способа закрепления продольной стороны пластинки: когда край опертый, следовательно, свободно поворачивается и когда он

абсолютно заделан. На практике мы обыкновенно встречаемся с промежуточными случаями. Край пластинки склепывается с другими частями металлической конструкции и степень закрепления будет зависеть от относительной жесткости склепываемых частей. Например, в случае, представленном на рис. 124, верхний край вертикального листа можно было бы считать совершенно заделанным лишь в том случае, если бы выпучивание этого листа не сопровождалось поворачиванием горизонтальных листов и уголков пояса. В действительности это поворачивание будет происходить, выпучивание вертикального листа будет сопровождаться некоторым кручением остальных частей сжатого пояса и жесткость закрепления верхнего края листа будет зависеть от жесткости кручения горизонтальных листов и уголков пояса. Для решения вопроса об устойчивости вертикального листа нужно рассмотреть пластинку с одним свободным и другим упруго заделанным краем. Под упругой заделкой будем подразумевать такую, при которой заделанный край может несколько поворачиваться, но при этом поворачивании возникают вдоль края пластинки изгибающие моменты, пропорциональные углу поворота. Допустим, что сторона пластинки (см. рис. 122) упруго заделана. Тогда условия закрепления по этому краю напишутся так:

где k — коэффициент, характеризующий жесткость заделки.

Рис. 124.

Из написанных условий находим между постоянными общего интеграла (d) такие зависимости:

Функция в рассматриваемом случае представится такз

Подставив это выражение для функции в прежние наши условия на свободном крае пластинки, придем к таким двум уравнениям:

Здесь для сокращения приняты такие обозначения:

Полагая в наших уравнениях или приходим к уравнениям для случая абсолютно заделанного края пластинки. Критические напряжения находим, приравнивая нулю определитель уравнений

Соответствующие значения коэффициента к в общей формуле будут зависеть, конечно, от коэффициента жесткости заделки х. В табл. 35 приводим значения к для случаев, когда Мы видим, что с уменьшением

коэффициента заделки уменьшаются значения к и вместе с тем увеличивается значение отношения а которому соответствует наименьшее Мы можем заключить, что с уменьшением жесткости заделки увеличивается длина тех волн, на которые подразделяется весьма длинная пластинка при выпучивании.

Если построить по числам таблицы кривые изменений то можно из рисунка найти, что переход от одной полуволны к двум, когда происходит примерно при в случае при

Покажем теперь на численном примере, как может быть приблизительно вычислена величина х.

Таблица 35 (см. скан)

Возьмем случай, представленный на рис. 124, где поворачиванию заделанного края вертикального листа препятствуют горизонтальные листы и уголки. Обозначим через С жесткость при кручении этих частей. Угол закручивания их, приходящийся на единицу длины края пластинки, будет, очевидно, равняться и соответствующий скручивающии момент определится согласно формуле Приращение этого момента по длине края пластинки определяется величиной изгибающих моментов, возникающих по краю пластинки. Отсюда получаем для определения жесткости заделки такое условие:

Принимая во внимание принятое выражение (b) для находим в случае выпучивания по одной полуволне

Следовательно, в рассматриваемом случае

Если в запас прочности пренебречь связью между горизонтальными листами и допустить, что каждый лист и каждый уголок при кручении работают независимо, то при вычислении С можно воспользоваться приближенными формулами (см. стр. 130), которые для нашего численного примера при условии подразделения пластинки на полуволны, для которых дают

Пользуясь числами табл. 35 для найдем при отношении что Следовательно х,

При всех этих выводах мы предполагали распределение сжимающих усилий равномерным. Иногда приходится встречаться с линейным законом распределения этих усилий по ширине сжимаемой пластинки.

Например, если стержень, сечение которого представлено на рис. 124, является сжатым элементом мостового пояса, то в нем кроме равномерного сжатия будут еще действовать и напряжения от изгиба, получающегося вследствие жесткого соединения отдельных элементов моста в узлах. Если изгиб так направлен, что при этом увеличиваются сжимающие напряжения по свободному краю вертикального листа, то это, конечно, будет уменьшать устойчивость листа. В противном случае устойчивость повышается. Допустим, что верхний продольный край вертикального листа оперт, тогда влияние изгиба на устойчивость листа может быть учтено элементарным путем, и приближенная формула, соответствующая формуле при равномерном сжатии, напишется так:

Здесь среднее значение сжимающего напряжения, получаемое делением эксцентрично приложенной сжимающей силы на площадь сечения листа. Через обозначен тот эксцентриситет, с которым должна быть приложена сжимающая лист сила, чтобы осуществить линейное напряженное состояние, получающееся при одновременном действии изгиба и сжатия рассчитываемого элемента. Положительный знак соответствует возрастанию сжимающих напряжений по свободному краю листа.

Если напряжения превзойдут величину определенную из формулы (246), то это еще не значит, что элемент разрушится, как это имеет место в случае продольного изгиба стержня. Выпучится лишь вертикальный лист и все то усилие, которое должно было бы передаться на него сверх распределится между более устойчивыми частями рассматриваемого элемента. Горизонтальные листы и уголки окажутся при этом перенапряженными.

IV. Обе продольные стороны пластинки абсолютно заделаны. В этом случае условия на продольных сторонах запишутся так:

Таким же точно путем, как и в предыдущих примерах, получим для определения критических напряжений трансцендентное уравнение

Ряд значений коэффициента к, полученных из этого уравнения, приводим в табл. 36.

Мы видим, что наименьшее значение для к получается при

Длинная пластинка с заделанными продольными краями будет при выпучивании подразделяться на полуволны, длина которых удовлетворяет полученному неравенству.

Таблица 36 (см. скан)

Без особых затруднений могут быть рассмотрены также другие способы закрепления продольных сторон сжатой пластинки. Некоторый практический интерес может иметь тот случай, когда свободный край пластинки для увеличения устойчивости подкрепляют особым продольным уголком жесткости. Подобную пластинку, например, представляет вертикальный лист сжатого таврового пояса моста, усиленный по низу уголком (рис. 125).

Если считать верхний край вертикального листа заделанным, то условия по продольным сторонам напишутся так:

при

Рис. 125.

Мы пренебрегаем при этом сопротивлением подкрепляющего уголка кручению и принимаем в расчет его сопротивление изгибу. Через обозначаем жесткость уголка при изгибе 1 и через сжимающую силу, приходящуюся на площадь поперечного сечения уголка. Условие, написанное нами для края несколько отличается от того, что мы имели раньше [см. формулу (212) § 51], так как здесь нами принято во внимание влияние продольной сжимающей силы на изгиб подкрепляющего уголка.