§ 48. Чистый изгиб пластинок

В случае чистого изгиба призматических стержней точное решение вопроса о распределении напряжений является крайне простым. Каждый продольный элемент изгибаемого стержня оказывается в состоянии линейного напряженного состояния, и напряжение это пропорционально расстоянию элемента от нейтрального слоя. Таким образом, точное решение совпадает с тем результатом, который получается элементарным путем, если исходить из гипотезы плоских сечений. Пользуясь принципом сложения, мы можем получить напряженное состояние, соответствующее чистому изгибу по двум взаимно перпендикулярным направлениям. Осуществить подобное напряженное состояние мы можем таким образом. Возьмем пластинку с прямоугольным контуром и по двум взаимно противоположным краям ее приложим непрерывно и равномерно распределенные изгибающие пары. Таким образом, мы получим в пластинке такое же напряженное состояние, как и в стержне, испытывающем чистый изгиб. Пластинка при этом изогнется, как мы знаем, по икласт инее кой поверхности. Если теперь мы приложим и по двум другим краям пластинки равномерно распределенные изгибающие пары, то получим более общий случай напряженного состояния, который условимся называть чистым изгибом пластинки.

Рис. 86.

Установим теперь связь между интенсивностью равномерно распределенных изгибающих пар и соответствующим им искривлением пластинки. Пусть (рис. 86) представляет собой элемент, вырезанный из нашей прямоугольной пластинки двумя парами взаимно перпендикулярных плоскостей, параллельных краям пластинки. Координатные оси х и у направим параллельно сторонам прямоугольного контура пластинки. По граням элемента, параллельным плоскости будут действовать нормальные напряжения вызываемые теми изгибающими парами, которые непрерывно распределены вдоль краев пластинки, параллельных оси у. Изгибающим парам, распределенным вдоль двух других краев пластинки, будут соответствовать нормальные напряжения по граням элемента, параллельным плоскости zx. По толщине пластинки напряжения изменяются так же, как и в случае чистого изгиба призматических стержней. Срединная плоскость пластинки играет роль

нейтрального слоя. Обозначим через и моменты, соответствующие напряжениям действующим по граням выделенного элемента, тогда

представляет собой изгибающий момент, приходящимся на единицу длины сторон пластинки, параллельных оси у. представляет соответствующую величину для сторон, параллельных оси х. Установим связь между моментами и с одной стороны, и радиусами кривизны соответствующими сечениям срединной поверхности пластинки плоскостями, параллельными с другой. Для этого выделим из элемента бесконечно тонкий слой, параллельный срединной плоскости и удаленный от нее на расстояние z. Напряжения и деформации этого элемента выразим через . Так как грани нашего элемента при чистом изгибе остаются плоскими, то для относительных удлинений выделенного слоя получим известные выражения

Соответствующие значения напряжений напишутся так:

Вставляя эти значения в выражения (а), получаем

Величина определяет собой, как мы видели (§ 46), жесткость балки-полоски при изгибе пластинки по цилиндрической поверхности. Условимся называть эту величину цилиндрической жесткостью пластинки и для упрощения введем обозначение

В дальнейшем мы будем иметь дело лишь с весьма малыми искривлениями пластинки. В таком случае величины могут быть заменены их приближенными выражениями . Формулы (197) перепишутся при этом так:

Сравнивая выражения для напряжений (196) с формулами (197), получаем

откуда

В том случае, когда пластинка изгибается по шаровой поверхности и мы из формул (197) получим

В дальнейшем нам понадобится еще выражение для потенциальной энергии, накопляемой в пластинке при чистом изгибе. Для выделенного нами элемента потенциальная энергия представится работой моментов и возрастающих от нуля до их окончательного значения при поворачивании соответствующих боковых граней элемента на углы

Следовательно,

Полученные формулы вполне решают вопрос о чистом изгибе пластинок. Зная мы из (198) находим соответствующие значения кривизн и путем интегрирования получаем прогибы пластинки. Из (199) находим величины наибольших напряжений.